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228 Résumé longLa caractérisation ci-dessus n’est pas satisfaisante : elle implique un nombre exponentiel desommes exponentielles. Avant de pouvoir décrire de meilleures caractérisations dans la sous-sectionsuivante, définissons différents objets mathématiques classiques.Les premiers sont les sommes de Kloosterman binaires. Ce sont les valeurs de la transforméede Walsh–Hadamard de la fonction inverse.Définition 2.2 (Somme de Kloosterman). La somme de Kloosterman associée à a ∈ F 2 n estK n (a) = 1 + ∑(−1) Trn 1 (ax+ x) 1 .x∈F ∗ 2 nLes seconds les polynômes de Dickson binaires.Définition 2.3 (Polynôme de Dickson [179]). Le polynôme de Dickson de degré r sur F 2 [X] estD r (X) =⌊ r 2 ⌋ ∑i=0rr − i( r − ii)X r−2i , r ≥ 2 .Enfin, nous aurons besoin d’un certain nombre de résultats sur les courbes algébriques. Unecourbe elliptique E est une courbe algébrique lisse de genre 1 donnée par une équation deWeierstraß [244, Section III.1]E : y 2 + a 1 xy + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 .Deux telles courbes sont tracées dans les Figures 5 et 6. Une propriété fondamentale est que lesFigure 5 – La courbe elliptique E :y 2 = x 3 − 2xFigure 6 – La courbe elliptique E :y 2 = x 3 − 2x + 2points rationnels d’une courbe elliptique forment un groupe. La loi d’addition est illustrée dans laFigure 7.Si une courbe elliptique est définie sur un corps fini F q , il est toujours possible de parler deson nombre de points rationnels. Calculer efficacement ce nombre de points est un problèmemathématique difficile. Cette quantité s’exprime en fonction de la trace t de l’endomorphisme deFrobenius :#E = q + 1 − t .Un théorème classique borne cette trace.