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1. Des fonctions booléennes et d’une conjecture combinatoire 221mirent à jour une famille de fonctions booléennes et ses bonnes propriétés cryptographiques ausein de familles de fonctions booléennes précédemment étudiées par Feng, Liao et Yang [89].Définition 1.1 (Construction de Carlet et Feng [41, Section 3]). Soient n ≥ 2 un entier positifet α un élément primitif de F 2 n. La fonction booléenne f en n variables est définie parsupp(f) =Carlet et Feng ont montré que ces fonctions sont1. équilibrées,{0, 1, α, . . . , α 2n−1 −2 } .2. de degré algébrique optimal n − 1 pour une fonction équilibrée,3. d’immunité algébrique optimale ⌈n/2⌉,4. assez résistantes aux attaques algébriques rapides,5. et munies d’une bonne non-linéariténl(f) ≥ 2 n−1 + 2n/2+1π( ) πln2 n − 1 ≈ 2 n−1 − 2 ln 2− 1π n2n/2 .Cette famille fut en suite modifiée par Tu et Deng [264], puis étendue par divers auteurs dontTang, Carlet et Tang [259], et finalement Jin et al., pour donner la famille suivante.Définition 1.2 (Construction{de Jin et al. [143]). } Soient n = 2k ≥ 4 un entier pair, α unélément primitif de F 2 n, A = 1, α, . . . , α 2k−1 −1et g : F 2 k → F 2 un fonction booléenne en kvariables définie parsupp(g) = α s A ,pour tout 0 ≤ s ≤ 2 k − 2, et u ∈ ( Z/(2 k − 1)Z ) ×. La fonction booléenne f : F2 k × F 2 k → F 2 enn variables est définie par( )f(x, y) = g xy 2k −1−u.Jin et al. ont prouvé que ces fonctions sont1. de degré algébrique compris entre n/2 et n − 2 selon la valeur de u,2. d’immunité algébrique optimale n/2 à condition qu’une conjecture soit vérifiée,3. d’une non-linéarité supérieure à2 n−1 − 2 π ln 4(2n/2 − 1)2 n/2 − 1 ≈ 2 n−1 − ln 2ππ n2n/2 .La preuve de l’optimalité de l’immunité algébrique dépend de la validité d’une conjecturecombinatoire qui est l’objet de la sous-section suivante.