Notas de F´ısica General Cursos propedeúticos INAOE

donde M = ρ dV . rcm viene siendo la posición promediada por la distribución
de masa, siendo Mrcm el primer momento de la distribución de masa.
Se puede definir de manera análoga el momento de inercia como el segundo
momento de la distribución de masa,
Iab = (r 2 δab − xaxb)ρdV
donde a y b son alguna de {x,y,z} y Ixx = ρ(y 2 + z 2 )dV . I se relaciona
directamente con la rotación del sistema y se puede reducir a un escalar al
definirse un eje de rotación.
1.5. Rotación
(Resnick §11, 12 y 13.)
Al considerar un movimiento circular, ya sea uniforme o no uniforme, conviene
hacer la descripción cinemática y dinámica en términos de variables
angulares, análogas a las lineales definidas en los capítulos §1 y §2.
1.5.1. Posición, velocidad y aceleración angular
En §1 definimos las coordenadas cilíndricas con la relación,
x = R cos ϕ, y = R sin ϕ,
donde el ángulo ϕ indica la posición angular del punto en cuestión. La velocidad
y aceleración angular se definen como las derivadas de esta cantidad
ω = dϕ
dt
, α = dω
dt .
Pensando en términos de una rotación en el plano xy, la velocidad lineal
cumple
v = −R sin ϕ ω ˆx + R cos ϕ ω ˆy = ω(−y ˆx + x ˆy), (1.35)
que se puede escribir como v = ω × r describiendo a la velocidad angular
como un vector a lo largo del eje ˆz, es decir ω = ωˆz. La aceleración angular
es también una cantidad vectorial, dada por
α = dω/dt = dω
dt
× r + ω × dr
dt = α × r − ω2 r .
En particular, en un movimiento circular uniforme tenemos v = ωr, a = ω 2 r.
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