Notas de F´ısica General Cursos propedeúticos INAOE

con m = m1m2/(m1 + m2), la masa reducida. Si U es solamente función de
r, y no de rcm, es decir U(rcm,r) = U(r), la fuerza resultante corresponde
a una interacción la mutua entre las dos partículas, sin fuerzas externas al
sistema. En consecuencia Fext = 0 y el centro de masa tiene movimiento
rectilineo uniforme, siendo Mv2 cm /2 una constante. La energía total puede
escribirse como E = Ecm + Eint donde
Ecm = 1
2 Mv2 cm = cte, Eint = 1
2 mv2 + U(r) = cte, (1.49)
siendo el valor de Eint el que determina si el sistema es libre (Eint > 0) o
ligado (Eint < 0).
Otra cantidad física que amerita consideración es el momento angular.
En el problema de dos cuerpos tenemos
L = L1 + L2 = m1r1 × v1 + m2r2 × v2,
= Mrcm × vcm + mr × v = Lcm + Lrel . (1.50)
En el problema general de dos cuerpos el momento angular asociado al centro
de masa es constante al tener éste un movimiento rectilíneo uniforme.
Potencial central
El problema del potencial central es el caso particular del problema de
dos cuerpos en el que el potencial U dependiente solamente de la distancia
r = |r2−r1|, es decir U(r) = U(r). Podemos concentrarnos en la componente
interna de la energía,
Eint = Etot − 1
2 Mv2 cm .
En el caso del potencial central además de que Eint es constante, la fuerza
puramente radial F = F(r) resulta en una torca nula, τ = r × F = 0, y la
conservación del momento angular relativo, d Lrel/dt = 0 ⇒ Lrel = cte. La
fuerza radial implicaa r. Por tanto la acelaración a está en el plano definido
por r y v. Si estos tres vectores están en el mismo plano en un instante
dado, es claro que permanecerán en él indefinidamente. En conclusión, el
movimiento bajo un potencial central se restringe a un plano.
Dado que tenemos caracterizado el centro de masa, podemos dejarlo
de lado en el análisis del movimiento relativo situándonos en un marco de
referencial (inercial) en el cual vcm = 0 (o mejor aún, rcm(t) = 0), en cuyo
caso Eint = Etot y Ltot = Lrel. Nombraremos a estas variables E y ℓ, que
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