Notas de F´ısica General Cursos propedeúticos INAOE

1.5.2. Dinámica rotacional
Energía cinética rotacional
Pensando en un cuerpo sólido, la energía cinética del mismo está dada
por la suma de las energías cinéticas de cada punto i, el cual se mueve con
una velocidad vi = vcm + vi,cm. Es decir
Ec = 1
2
i
miv 2 1
i =
2
i
miv 2
cm + mivcm · vi,cm +
i
1
2
i
miv 2 i,cm
= v2
cm
mi + vcm ·
2
mivi,cm + 1
2 miv 2 i,cm
i
i
= 1
2 Mv2 1
cm +
2 Iω2 , (1.36)
donde usamos M = mi, mivi,cm = d( miri,cm)/dt = 0, usando la
definición de centro de masa, y definiendo el momento de inercia I a través
de la relación
es decir
1
2 Iω2 =
i
1
2 miv 2 1
i,cm =
2
i
mi(ω × ri,cm) 2 = 1
mir
2
i
2
i⊥ ω 2 ,
I =
i
mir 2 i⊥ →
i
ρr 2 ⊥dV , (1.37)
donde ri⊥ se refiere a la distancia del punto i al eje de rotación y la flecha
indica la expresión correspondiente a una distribución continua de masa. La
expresión (1.36) indica que la energía cinética de un cuerpo sólido puede
separarse en un término de centro de masa, o translacional, mas un término
rotacional. Dentro de la energía cinética rotacional el momento de inercia es
análogo a la masa dentro de la inercia translacional.
Momento de inercia
Independientemente de si la rotación es alrededor del centro de masa o
no, el momento de inercia se calcula con respecto al eje de rotación. Así, si
consideramos un objeto girando alrededor del eje z tenemos
I = ρr 2
⊥dV = x 2 + y 2
ρ dV ,= R 2 ρ RdR dϕ dz ,
sugiriendo la fórmula el uso de coordenadas cilíndricas {R,ϕ,z}.
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