Notas de F´ısica General Cursos propedeúticos INAOE

Esta relación corresponde con la tercera ley de Kepler, para el caso particular
de órbitas circulares, que son a su vez un caso particular de órbitas elípticas.
Órbita elíptica
Podemos mostrar que una elipse es una trayectoria viable reemplazando
el tiempo mediante dt = (mr 2 /ℓ)dϕ = r 2 dϕ/λ,
ǫ = 1
2 ˙r2 + λ GM
−
2r2 r
λ2
=
2r4 2 dr
dϕ
+ λ2 GM
− , (1.56)
2r2 r
para obtener la ecuación de una elipse referida a uno de sus focos (ec. 1.46)
recordando que ǫ < 0. La integración no es directa y procederemos mejor a
reemplazar r(ϕ) en (1.56), obteniendo las condiciones
λ =
GMa(1 − e2 ), ǫ = − GM
. (1.57)
2a
Estas pueden invertirse para encontrar el semieje mayor a y la eccentricidad
e, dadas la energía y momento angular. Las órbitas elípticas son soluciones
al problema de Kepler, corroborando la primera ley.
Órbitas parabólica e hiperbólica
La ecuación de la hipérbola, referida al foco interior, es
r(ϕ) = a(e2 − 1)
ecos ϕ + 1 ,
con r definida positiva para cos ϕ > −1/e. Si reemplazamos en la ecuación
de energía (1.56), obtenemos basicamente las mismas relaciones que en el
caso elíptico
λ =
GMa(e 2 − 1) , ǫ = GM/2a .
Al substituir la parábola de distancia focal p referida al foco
r =
p
1 − cos ϕ ,
se obtiene λ = √ GMp, ǫ = 0.
Si bien la primera ley de Kepler se refiere a órbitas elípticas, las leyes
de Newton también permiten órbitas parabólicas (E = 0) e hiperbólicas
(E > 0). Estas se observan en cometas no periódicos.
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