Notas de F´ısica General Cursos propedeúticos INAOE

Supóngase que conocemos el momento de inercia I referido a un eje que
pasa por el centro de masa, digamos ˆz, y queremos calcularlo para un eje
paralelo a ˆz. Si h es la distancia entre estos ejes tenemos
Ih =
r 2
⊥ρdV = (x − h) 2 + y 2
ρdV
=
i
x 2 + y 2
ρdV − 2h
xρdV + h 2
ρdV = Icm + Mh 2 ,
donde hemos supuesto que el eje original correspondia a x = y = 0 y el
paralelo a x = h,y = 0.
Algunos ejemplos de cálculos de momentos de inercia para distribuciones
de masa o cuerpos sólidos de densidad ρ constante:
una mancuerna:
tenemos dos masas idénticas de masa m unidas por una varilla sin
masa de longitud ℓ. El momento de inercia con respecto a un eje perpendicular
a la varilla está dado por
I =
ı
ρr 2 ⊥dV = m (ℓ/2) 2 + m (ℓ/2) 2 = 1
2 mℓ2 .
una esfera:
una esfera de radio R y masa M con densidad uniforme. El momento
de inercia con respecto a un eje que pasa por su centro calculado en
coordenadas esféricas,
I =
I =
r 2 R π 2π
⊥ρdV =
M
4πR 3 /3
0
R
0
0
r 4 dr
r
0
2 sin 2 θ
π 2π
0
sin 3 θdθ
M
4πR3
r
/3
2 sin θdrdθdϕ,
dϕ = 2
5 MR2 .
un cilíndro sólido:
de radio R y altura h, con respecto a su eje axial, calculando en coordenadas
cilíndricas,
I =
r 2 ⊥ρdV =
R 2π h
I = 1
2 MR2 . (indep de h?)
0
0
15
0
0
R ′2
M
πR2
R
h
′ dR ′ dϕdz,