Notas de F´ısica General Cursos propedeúticos INAOE

identificando a 〈H〉 con la energía del sistema. Si el sistema está en un estado
estacionario la energía se conserva. La versión estacionaria de la ecuación de
Schrödinger se escribe como una ecuación diferencial de valores propios,
− ¯h2
2m ∇2 φ + U(r)φ = Eφ. (4.22)
Esta es la expresión más común para la ecuación de Schrödinger.
Pozo de potencial
El pozo de potencial sirve como un primer ejemplo de la cuantización de
la energía. El potencial está definido de la forma
⎧
⎪⎨ +∞ para x < 0,
U(x) = 0 para 0 ≤ x ≤ a,
⎪⎩ +∞ para a < x,
tenemos que φ = 0 fuera del pozo de ancho a. Dentro del pozo tenemos
φ(x) = Ae ikx + Be −ikx ,
con k = √ 2mE/¯h. Imponiendo φ(0) = φ(a) = 0 obtenemos
φ(x) = 2iAn sen(knx), con kn = n π
a ,
siendo n entero. Esto a su vez impone una condición de cuantización de
energía,
En =
π 2 ¯h 2
2ma 2
El problema tiene un número infinito numerable de soluciones las cuales
quedan especificadas por el valor de n, denominado el número cuántico.
Pared de potencial
La pared de potencial ilustra el fenómeno puramente cuántico de efecto
túnel, la posibilidad de pasar por un potencial a pesar de tener una energía
menor a la del mismo. La pared de potencial es de la forma
⎧
⎪⎨ 0 para x < −a/2 (I)
U(x) = V para −a/2 ≤ x ≤ +a/2 (II) ,
⎪⎩ 0 para x > +a/2 (III)
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n 2 .