Notas de F´ısica General Cursos propedeúticos INAOE

tenemos una solución parecida a la anterior, con distintos valores de k dependiendo
de si la partícula está en la región (I), (II) o (III). En la zona (I)
y (III) la función de onda es armónica con k = √ 2mE/¯h; en la zona (II) la
forma de la función de onda depende del signo de E − V :
si E − V > 0:
la función de onda en (II) es armónica con κ = 2m(E − V )/¯h. Los
coeficientes {A,B} deben asegurar la continuidad de φ en x = ±a/2.
si E − V < 0:
la función de onda en (II) es una combinación de exponenciales,
φ (II)(x) = A2e αx + B2e −αx ,
con α = 2m(V − E)/¯h. A pesar de tener una energía menor que la
de la pared, la partícula puede estar en la región (II) y atravesarla.
La fusión nuclear en el centro de las estrellas ocurre a temperaturas más
bajas de las necesarias para sobrepasar la repulsión Coulombiana gracias al
efecto túnel.
Oscilador armónico - en una dimensión
La importancia del oscilador armónico radica en que cualquier potencial
continuo es aproximadamente cuadrático alrededor de un mínimo. La
expansión
U(x) = U(x0) +
dU
(x − x0) +
dx 0
1
2
d2U dx2
(x − x0)
0
2 + ...
se vuelve cuadrática si dU/dx = 0. Haciendo un cambio de variable y restando
el término constante U0, el potencial adquiere la forma U = kx 2 /2, y
la ecuación de Schrödinger se escribe como
− ¯h2
2m
d2φ 1
+
dx2 2 kx2φ = Eφ.
Se puede ver que una solución de esta ecuación es la función gaussiana;
mas en general, se puede demostrar que existe un conjunto numerable de
soluciones de la forma φn(x) = Pn(x)e−αx2, donde Pn es un polinomio de
orden n. A cada función φn le corresponde un valor único de energía igual a
En = n + 1
¯hω, (4.23)
2
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