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escritas en coordenadas esféricas (1.11), adquieren las expresiones E = 1 2 m˙r2 + 1 2 mr2 ˙ϕ 2 sin 2 θ + 1 2 mr2θ˙ 2 + U(r), (1.51) 2 ℓ = −mr ˙ϕ sinθ θ ˆ 2 + mr θ˙ ˆϕ . (1.52) Sabiendo que el movimiento se da en un plano, fijamos θ = π/2, de donde E = 1 2 m ˙r 2 + r 2 ˙ϕ 2 + U(r), 2 ℓ = −mr ˙ϕ θ ˆ. (1.53) Nótese que si θ = π/2 los vectores ˆz y ˆ θ son antiparalelos, ˆ θ = −ˆ θ, explicando el signo negativo en ℓ para una rotación con ˙ϕ > 0, alrededor de ˆz. Comparando con ec. (1.47) vemos que la conservación del momento angular se traduece en la segunda ley de Kepler, la cual se cumple para cualquier potencial central. Problema de Kepler En el caso del problema de Kepler se busca la solución de (1.53) para U = −GMm/r. Es importante considerar que hemos reducido notablemente el problema: (i) de seis variables, (r1,r2), a tres cambiando a las coordenadas de centro de masa y relativa, y mostrando que el centro de masa tiene un movimiento relativo uniforme; (ii) posteriormente reducimos de tres a dos dimensiones mostrando que el momento angular es constante, por lo que el movimiento se da en un plano y fijamos θ = π/2. Nos faltan dos variables, (r(t),ϕ(t)), las cuales debe ser posible encontrar con las dos relaciones fundamentales que tenemos: las conservaciones de energía y momento angular, E = 1 2 m˙r2 + 1 2 mr2 ˙ϕ 2 − GMm , ℓ = mr r 2 ˙ϕ. (1.54) Antes de encontrar las soluciones en función del tiempo se puede mostrar dan lugar a las leyes de Kepler. Antes de eso podemos estudiar el movimiento radial, eliminando ϕ de la ecuación de energía, E = 1 2 m˙r2 + ℓ2 GMm − , (1.55) 2mr2 r que viene siendo un problema en una dimensión con un potencial efectivo, Ue(r) = ℓ2 GMm − , 2mr2 r graficado en la Figura 1.4. Este potencial tiene un mínimo en r0 = ℓ 2 /GMm 2 , donde Ue = −(GM) 2 /2(ℓ/m) 2 = −GM/2r0. A partir de este punto y de la forma del potencial, Ue → 0 para r → ∞, podemos definir tres regímenes: 22
Figura 1.4: Potencial efectivo para el problema de dos cuerpos, en unidades arbitrarias. Las líneas punteadas indican el potencial Kepleriano y la contribución angular. 1. La solución con E = −GM/2r0 tiene ˙r = 0 y por tanto corresponde a una órbita circular, siendo esta la configuración de menor energía mecánica. 2. Si la energía es superior a E0 pero negativa, E0 < E < 0, r está acotada entre las dos soluciones de E = Ue(r); el resultado es que el movimiento está acotado por dos cículos, rmin ≤ r ≤ rmax. 3. Si E > 0 entonces solo existe una cota interna y la distancia entre las dos partículas puede hacerse infinita. El movimiento solo está acotado interiormente. Veamos estos casos con más detalle. Órbita circular Si ˙r = 0 y denotamos con a el radio de la órbita, tenemos ǫ = E/m = − GM 2a , λ = ℓ/m = √ GMa, de donde podemos calcular la velocidad angular, λ = a 2 ω ⇒ ω = GM a 3 23 a T = 2π 3 GM .
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