Notas de F´ısica General Cursos propedeúticos INAOE

escritas en coordenadas esféricas (1.11), adquieren las expresiones
E = 1
2 m˙r2 + 1
2 mr2 ˙ϕ 2 sin 2 θ + 1
2 mr2θ˙ 2
+ U(r), (1.51)
2
ℓ = −mr ˙ϕ sinθ θ ˆ 2
+ mr θ˙ ˆϕ . (1.52)
Sabiendo que el movimiento se da en un plano, fijamos θ = π/2, de donde
E = 1
2 m
˙r 2 + r 2 ˙ϕ 2
+ U(r), 2
ℓ = −mr ˙ϕ θ ˆ. (1.53)
Nótese que si θ = π/2 los vectores ˆz y ˆ θ son antiparalelos, ˆ θ = −ˆ θ, explicando
el signo negativo en ℓ para una rotación con ˙ϕ > 0, alrededor de ˆz.
Comparando con ec. (1.47) vemos que la conservación del momento angular
se traduece en la segunda ley de Kepler, la cual se cumple para cualquier
potencial central.
Problema de Kepler
En el caso del problema de Kepler se busca la solución de (1.53) para
U = −GMm/r. Es importante considerar que hemos reducido notablemente
el problema: (i) de seis variables, (r1,r2), a tres cambiando a las coordenadas
de centro de masa y relativa, y mostrando que el centro de masa tiene un
movimiento relativo uniforme; (ii) posteriormente reducimos de tres a dos
dimensiones mostrando que el momento angular es constante, por lo que el
movimiento se da en un plano y fijamos θ = π/2. Nos faltan dos variables,
(r(t),ϕ(t)), las cuales debe ser posible encontrar con las dos relaciones fundamentales
que tenemos: las conservaciones de energía y momento angular,
E = 1
2 m˙r2 + 1
2 mr2 ˙ϕ 2 − GMm
, ℓ = mr
r
2 ˙ϕ. (1.54)
Antes de encontrar las soluciones en función del tiempo se puede mostrar
dan lugar a las leyes de Kepler. Antes de eso podemos estudiar el movimiento
radial, eliminando ϕ de la ecuación de energía,
E = 1
2 m˙r2 + ℓ2 GMm
− , (1.55)
2mr2 r
que viene siendo un problema en una dimensión con un potencial efectivo,
Ue(r) = ℓ2 GMm
− ,
2mr2 r
graficado en la Figura 1.4. Este potencial tiene un mínimo en r0 = ℓ 2 /GMm 2 ,
donde Ue = −(GM) 2 /2(ℓ/m) 2 = −GM/2r0. A partir de este punto y de la
forma del potencial, Ue → 0 para r → ∞, podemos definir tres regímenes:
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