Notas de F´ısica General Cursos propedeúticos INAOE

1. Primera ley de Kepler: las órbitas de los planetas son elipses con el
Sol en uno de los focos.
2. Segunda ley de Kepler: el vector que une al planeta con el Sol barren
áreas iguales en tiempos iguales.
3. Tercera ley de Kepler: P 2 = a 3 , siendo P el periodo en años y a la
distancia media al Sol en unidades astronómicas.
Como se muestra en §1.6.4, estas leyes son consecuencia directa de las leyes
de Newton. Podemos hacer algunas anotaciones con respecto a estas leyes.
Órbitas elípticas
La primera anotación se refiere a la diferencia entre un elipse referida a
su centro o a uno de sus focos. La elípse se define como el lugar geométrico
de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos (los focos) es igual a
constante,
(x − c) 2 + y 21/2
+ (x + c) 2 + y 21/2 = 2a,
que resulta en la ecuación canónica de una elípse,
2 x
+
a
2 y
= 1 ⇔ r =
b
(1 − e 2 )a 2
1 − e 2 cos 2 ϕ ,
donde los focos están situados en {x = ±c,y = 0} y la excentricidad es
e = c/a = √ a 2 − b 2 /a; a representa al semieje mayor y b al semieje menor
(suponiendo a > b). El lado derecho indica la expresión correspondiente a
r(ϕ) en coordenadas polares. Referido a uno de los focos, digamos x = +c =
ea, la ecuación de la elipse se obtiene de
(x − 2c) 2 + y 2 1/2
+ x 2 + y 2 1/2
= 2a,
la cual en coordenadas polares resulta en,
Áreas barridas
r = a(1 − e2 )
. (1.46)
1 − ecos ϕ
Supongamos dos vectores r1 y r2 siendo ∆r = r2 − r1, según se ilustra
en la figura 1.3. Se puede ver que el área del triángulo que enmarcan estos
19