Notas de F´ısica General Cursos propedeúticos INAOE

4.3. Formalismo de la mecánica cuántica
4.3.1. El formalismo Hamiltoniano de la mecánica clásica
El formalismo Hamiltoniano de la mecánica clásica describe el estado
de un sistema a través de coordenadas generalizadas, qi, y los momentos
respectivos, pi, definidos como
pi ≡ ∂Ec
, (4.8)
∂ ˙qi
siendo Ec la energía cinética. Así, tomando como ejemplo el movimiento de
una partícula descrito en coordenadas esféricas,
tenemos
Ec = 1
2 m˙r2 + 1
2 mr2 sin 2 θ ˙ϕ 2 + 1
2 mr2 ˙ θ 2 , (4.9)
pr = ∂Ec
∂ ˙r = m˙r, pϕ = mr 2 sin 2 θ ˙ϕ, pθ = mr 2 ˙ θ. (4.10)
Mientras que a la coordenada lineal r le corresponde la componente radial del
momento lineal, a las coordenadas angulares les corresponden componentes
del momento angular.
A partir de estas definiciones se construye el Hamiltoniano, función de
coordenadas y momentos (y en principio del tiempo) dada por
H(qi,pi,t) ≡ Ec(qi,pi) + U(qi,t). (4.11)
El movimiento está dado por la ecuaciones de Hamilton
˙qi = ∂H
, ˙pi = −
∂pi
∂H
. (4.12)
∂qi
Siguiendo esta receta, el movimiento de una partícula en coordenadas esféricas
se rige por el Hamiltoniano dado por
H = p2r 2m +
2mr2 sin2 θ + p2θ + U(r,ϕ,θ),
2mr2 y las ecuaciones de Hamilton quedan como
p 2 ϕ
˙r = pr
m , pθ
θ ˙ =
mr2, ˙ϕ =
pϕ
mr 2 sin 2 θ ,
p
˙pr =
2 ϕ
mr3 sin2 θ + p2 θ ∂U
−
mr3 ∂r , ˙pθ = p2ϕ cos θ
mr2 sin3 ∂U
−
θ ∂θ , ˙pϕ = − ∂U
∂ϕ .
Estas ecuaciones son equivalentes a las que se obtienen de las leyes de Newton.
En el caso de un potencial central, obtenemos la conservación del momento
angular, L = −ˆ θ pϕ/sin θ + ˆϕ pθ.
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