Notas de F´ısica General Cursos propedeúticos INAOE

energía cinética ǫ = mv 2 /2 y la energía interna del gas viene siendo la suma
de las energías internas individuales,
N N 1
U = ǫj =
2
j=1 j=1
mjv 2
1
j = N
2 mv2
. (2.11)
2.5.1. Presión de un gas ideal
Consideramos las colisiones en las paredes de un recipiente que contiene
a un gas ideal para obtener P = (1/3)N < mv 2 >. Se deduce para un gas
ideal U = (3/2)Nk y E = (3/2)PV .
2.5.2. Distribución de velocidades y energías
Las partículas interaccionan mediante colisiones elásticas, que conservan
la energía del gas pero dan lugar a intercambios de energías entre partículas,
las cuales pueden tener distinas velocidades. La isotropía implica que las tres
coordenadas de velocidad se comportan de la misma manera, cumpliendo
La isotropía también implica
〈vx〉 = 〈vy〉 = 〈vz〉 = 0.
v 2
x = v 2
y = v 2
z = kT
m ,
Dado que cada componente no tiene mayor restricción que el valor de su
promedio y desviación estándar (vT = kT/m), de acuerdo al teorema del
límite central su distribución tiende a una normal, o gaussiana,
f(vi)dvi = 1
√ exp −
2π 1
2
vi dvi
,
2 vT vT
con i = {x,y,z}. Juntando las tres componentes se obtiene
f(vx,vy,vz)dvxdvydvz = (2πkT/m) −3/2 e −mv2 /2kT dvxdvydvz ,
y de ahí la distribución de velocidades de Maxwell-Boltzmann,
f(v)dv = (2πkT/m) −3/2 e −mv2 /2kT 4πv 2 dv , (2.12)
aprovechando nuevamente la isotropía en dvxdvydvz = 4πv 2 dv.
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