Notas de F´ısica General Cursos propedeúticos INAOE

A partir de la ecuación de la órbita y la conservación del momento angular
es posible demostrar la tercera ley de Kepler, mediante la integral
T
T =
0
dt = 1
2π
r
λ 0
2 (ϕ)dϕ =
a3 (1 − e2 ) 3 1/2 2π
GM
En particular para una órbita circular e = 0, de donde
T 2 = 4π2 a 3
GM
0
dϕ
(1 − ecos ϕ) 2.
. (1.58)
El coeficiente de proporcionalidad en la tercera ley de Kepler es la masa
total del sistema. En el caso del sistema solar (o de las lunas de Júpiter) la
masa del Sol es el término dominante .
Soluciones temporales al problema de Kepler
Una característica de la solución del problema de dos cuerpos es que no
hay una expresión analítica para r(t) y θ(t). La forma mas directa de la solución
en función del tiempo es a través de la eccentricidad anómala ψ, la cual
relaciona r y θ con t. Para órbitas elípticas las relaciones correspondientes
son
θ 1 + e
ωt = ψ − esin ψ , r = a(1 − ecos ψ) tan =
2 1 − e tan
ψ
,
2
(1.59)
siendo ω = 2π/T = GM/a3 la frecuencia angular.
1.6.5. Parámetros orbitales
La solución presentada para el problema de dos cuerpos define las órbitas
elípticas con dos parámetros, el semieje mayor a y la eccentricidad, e,
presuponiendo que el plano de movimiento es el plano xy y que el periastro,
punto mínimo de r, se da en ϕ = π. Un tercer parámetro es la frecuencia
angular, ω = GM/a 3 , o el periodo que aquí denotaremos con P. Esta es
una simplificación ya que se requieren 6 parámetros para especificar completamente
una órbita orientada arbitrariamente en el cielo. Los parámetros
empleados normalmente son: (i) el semieje mayor, a; (ii) la eccentricidad,
e; (iii) la frecuencia angular ω, o el periodo, P; (iv) la inclinación, i; (v) la
longitud del nodo ascendente, Ω; (vi) la época de paso por el periastro, t0.
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