Notas de F´ısica General Cursos propedeúticos INAOE

que representan la superposición de ondas viajando hacia la derecha, (kx − ωt),
e izquierda, (kx + ωt). La velocidad de propagación de la onda está dada
por la velocidad de grupo, v = dω/dk = ¯hk/m.
El problema principal de la solución 4.19 es no ser normalizable, ya que
|ψ| 2 = |A| 2 + |B| 2 + A ∗ Be −2ikx + AB ∗ e +2ikx
no da un valor finito al integrarse de x = −∞ a x = +∞. Aún asi, podemos
calcular algunas variables físicas y su incertidumbre integrando entre x = ±a
y tomar el límite a → ∞. Si consideramos el caso B = 0, obtenemos
〈x〉 = 0, ∆x = a/ √ 3 → ∞, 〈p〉 = ¯hk, ∆p = 0, 〈H〉 = ¯h2 k 2
2m .
El valor medio del Hamiltoniano es una medida de la energía del sistema;
los valores medios cumplen la relación clásica E ≡< H >=< p > 2 /2m.
Notamos que la posición está completamente indeterminada (∆x → ∞)
mientras que el momento está determinado sin incertidumbre (∆p = 0).
La normalización de la función ψ se logra indeterminando el momento
mediante una función de peso A(k),
ψ(x,t) = 1
+∞
√ A(k)e
2π −∞
i(kx−ω(k)t) dk,
donde se debe cumplir ω(k) = ¯hk 2 /2m y la normalización de ψ se garantiza
si A(k) está normalizada,
Estados estacionarios
+∞
|ψ(x,t)|
−∞
2 +∞
dx = |A(k)|
−∞
2 dk.
La separación de variables realizada en el problema anterior es inherente
a la ecuación de Schrödinger, constituyendo las funciones φ los llamados
estados estacionarios. La separación de variables se hace planteando
ψ(r,t) = φ(r)e −iEt/¯h . (4.20)
Si U no depende explícitamente de t podemos eliminar la dependencia temporal
de la ecuación de Schrödinger, la cual queda como
p2 Hφ = Eφ ⇒ + U(r) φ(r) = E φ(r), (4.21)
2m
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