Ejercicios resueltos de C´ALCULO

El cuerpo de los números complejos 8
Problema 5 Hallar todas las raíces cuartas de i en la forma “a + bi” sin hacer intervenir ninguna función
trigonométrica.
π 2π
Las cuatro raíces cuartas de i son: zk = exp +
2 · 4 4 k
, k = 0, 1, 2, 3:
z1 = cos π
π + i sen 8 8 ; z2 = cos 5π
5π + i sen 8 8 ; z3 = cos 9π
9π + i sen 8 8 ; z4 = cos 13π
13π + i sen 8 8
Las siguientes igualdades permiten el cálculo exacto de estas raíces:
cos π
8
1 π = cos 2 4 =
Por tanto, las raíces son:
1
2
z1 = cos π
π
+ i sen 8 8 =
z2 = cos 5π
8
z3 = cos 9π
8
z4 = cos 13π
8
π 1 + cos = 4
√ 2+ √ 2
√ √ √ √
2+ 2 2− 2
+ i 2 √ 2
√ √ √
5π 2+ 2 2− 2
+ i sen = − + i
8 √ 2
2
√ √ √
9π 2+ 2 2− 2
+ i sen = − − i
8 2
2
13π + i sen 8 =
√ √ √ √
2+ 2 2− 2
− i 2
2
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
2
sen π
8
1 π = sen 2 4 =
z3
1
2
z2
√ √
π 2− 2
1 − cos = 4 2
Im
i
z4
z1
π 8
Re