Ejercicios resueltos de C´ALCULO

El espacio métrico R n .Curvas parametrizadas 178
Problema 92 Trocoide. Un círculo de radio r rueda sin deslizarse por una recta (eje OX). Hallar las
ecuaciones de la trayectoria de un punto unido rígidamente al círculo y que se encuentra a una distancia d
del centro de este. Esta curva recibe el nombre de trocoide; si r = d, la curva se denomina cicloide; si r < d,
se denomina cicloide larga; por último, si r > d, se denomina cicloide corta. En la figura 4.1 se muestran
las gráficas de estas dos últimas. Dar ejemplos de objetos que, al moverse, describen tales curvas.
y (θ )
r
x(θ )
En la figura mostramos como se describe un punto de una cicloide larga, pero puede observarse, que el
razonamiento es válido para cualquier caso.
Como parámetro elegimos el ángulo de giro del círculo, θ; además, suponemos que en el instante inicial
el punto de referencia está sobre el eje OY (es decir, para θ = 0, el punto de la curva es (0, r − d)). Cuando
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
θ
rθ