Ejercicios resueltos de C´ALCULO

Integración 389
por tanto:
1 1
3 3 1
UP = f − 0 + f − + f(1) 1 −
2 2 4 4 2
3
4
3 3
+ f − 1 + f(2) 2 −
2 2 3
2
= 1 9
+
4 · 2 42 1 9
+ 2 +
· 4 4 22 4 221
+ =
· 2 2 64 < 3′ 46
1
1 3 1 3
LP = f(0) − 0 + f − + f 1 −
2 2 4 2 4
3
4
3
3
+ f(1) − 1 + f 2 −
2 2
3
2
= 0 + 1
22 9
+
· 4 42 1 9
+ +
· 4 2 22 117
=
· 2 64 > 1′ 82
Es decir, el área, A, que queda por debajo de la gráfica de f verifica: 1 ′ 82 < A < 3 ′ 46.
b) Sabemos que f es integrable en [0, 2] (por ser continua), y por tanto, para calcular el área pedida,
nos basta tomar cualquier sucesión de sumas de Riemann, {RPn}, con lím ||Pn|| = 0; el área será:
A = lím RPn. Para cada n tomamos una partición regular Pn, con norma 2
; la elección de los puntos
n
intermedios la hacemos tomando los extremos izquierdos de los subintervalos. Por tanto, efectivamente,
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde