Ejercicios resueltos de C´ALCULO

Sucesiones y series numéricas 58
(ii) Supongamos que ck < 1
2 ; tenemos que probar que ck+1 < 1
2
secuencias de desigualdades:
ck < 1
2
(ck) 2 < 1
4
a + (ck) 2 < a + 1
4
ck+1 < 1
2
1 1
< +
4 4
y lo hacemos con la siguientes
Por lo tanto, efectivamente la sucesión cn está acotada superiormente por 1/2. En consecuencia, la
sucesión es convergente y su límite también es menor que 1/2, es decir, ℓ = lím cn = 1 − √ 1 − 4a
. En
2
resumen:
⎧
⎨1
−
lím cn =
⎩
√ 1 − 4a
si 0 < a ≤
2
1/4
+∞ si a > 1/4
4. Evaluando algunos términos de la sucesión, observamos que no es monótona pero que las subsucesiones
de los términos pares y la de los impares sí son monótonas; concretamente, observamos que se verifican
las siguientes desigualdades:
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde
d2n+1 < d2n+3 < d2n+4 < d2n+2 para todo n ∈ N