Ejercicios resueltos de C´ALCULO

El cuerpo de los números complejos 15
Problema 10 Resolver la ecuación sen z = 2.
Empezamos utilizando la definición de la función seno
2 = sen z = 1
2i (eiz − e −iz ) = e2iz − 1
2eizi De aqui obtenemos: e 2iz − 1 = 4e iz i. Esta es una ecuación de segundo grado en e iz y sus soluciones son
e iz = 1
2 (4i ± √ −16 + 4) = i(2 ± √ 3)
Entonces, las soluciones de la ecuación propuesta verifican:
z = 1
i log i(2 ± √ 3) = −i log i(2 ± √ 3) = −i(log i + log(2 ± √ 3))
= −i(i( π
2 + 2nπ) + log(2 ± √ 3))
= π
2 + 2nπ − i log(2 ± √ 3)
Es decir, para cada n ∈ Z tenemos dos soluciones:
z1n = π
2 + 2nπ − i log(2 + √ 3) z2n = π
2 + 2nπ − i log(2 − √ 3)
Ejercicios resueltos de Cálculo. c○Agustín Valverde