Cuaderno III: Estructuras algebraicas.

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10 y, de forma análoga, dado X∈P(E) no vacío, no tiene inverso respecto de ∩ . Ejercicios x+y III.1.- Sea x•y = ––––– , razonar si es ley de composición interna en R , R* , R + , R – . xy III.2.- Las leyes • y ∆ están definidas en el conjunto R + xy+1 x+y x•y = –––––– x∆y = –––––– x+y x+y+1 estudiar si son asociativas y conmutativas. III.3.- Consideremos dos leyes de composición interna a•b = 3a+2b a∆b = 4ab ambas definidas sobre Z. Ver si son asociativas, conmutativas y si alguna de ellas es distributiva respecto la otra. III.4.- Averiguar las propiedades de las siguientes leyes de composición interna a) x•y = 2 x+y sobre N x+y b) x∆y = ––––– sobre el conjunto P de los números pares y sobre Q 2 III.2.- GRUPOS Según las propiedades que verifiquen sus leyes de composición, las estructuras algebraicas se designan de distintas formas y tienen características especiales. Vamos a estudiar las principales estructuras con leyes de composición internas. Sea • una l.c.i. sobre un conjunto G; diremos que (G,•) es un grupo si y sólo si ⎥ 1) • es asociativa ⎥ ⎥ 2) existe elemento neutro: e ⎥ ⎥ 3) para todo x∈G existe simétrico: x' y si además • es conmutativa se denomina grupo abeliano. Un grupo (G,•) es finito cuando el conjunto G es un conjunto finito, cuyo cardinal se denomina orden del grupo. Ejemplo III.2.1 Para las principales estructuras numéricas, tenemos
11 (N,+) no es grupo pues no existe opuesto para todo x∈N. (N,·) no es grupo pues no existe inverso para todo x∈N. (Z,+) es grupo abeliano, donde el neutro es 0 y el opuesto de z∈Z es −z. (Z/(n),+) es grupo abeliano. (Z,−) no es grupo pues la l.c.i. no es asociativa. (Z,·) no es grupo pues no existe inverso para todo z∈Z. (Q,+), (R,+) y (C,+) son grupos abelianos. (Q,·) , (R,·) y (C,·) no son grupos pues 0 no tiene inverso. (Q*,·) ,(R*,·) y (C*,·) son grupos abelianos. Directamente de la definición de grupo y de las propiedades de las l.c.i., se derivan las proposiciones que se enuncian en la Tabla III.2.1. TABLA III.2.1 ____________________________________________________________ Propiedades en un grupo (G,•) 1) El elemento neutro es único 2) El simétrico x' de un elemento x es único 3) (∀x∈G) ((x')' = x) 4) (∀x,y∈G) ((x•y)' = y'•x') 5) Todo elemento de G es regular 6) La ecuación x•b = a tiene por única solución x = a•b' 7) Si x,a∈G son tales que a•x = a o x•a = a, entonces x es el neutro de G ____________________________________________________________ Demostraciones: Teniendo en cuenta que • es asociativa, las propiedades 1), 2), 3) y 4), según vimos en la Sección III.1, se verifican en toda estructura con l.c.i. asociativa; asimismo de la asociatividad y la existencia de simétrico para todo elemento del grupo, se deduce 5). Para demostrar 6), teniendo en cuenta que cualquiera que sea b existe su simétrico b', tendremos x•b = a ⇒ (x•b)•b' = a•b' ⇒ x•(b•b') = a•b' ⇒ x•e = a•b' ⇒ x = a•b' con lo que hemos encontrado solución para la ecuación, que se obtiene simplemente "pasando" b de un miembro a otro, cambiándolo por su simétrico. Además esta solución es
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