Cuaderno III: Estructuras algebraicas.

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Demostraciones:
P1) es inmediata ya que basta darse cuenta que los axiomas que definen el álgebra de Boole
son dobles, siendo una mitad dual de la otra; por ello toda propiedad de una fórmula
deducida de los axiomas tiene una dual y además, la dual de la dual vuelve a ser la primitiva
propiedad. Observese como todas las propiedades P2) a P9) son dobles, siendo una mitad
la dual de la otra, por lo que basta demostrar una de ellas, resultando la otra por el principio
de dualidad. Las demostraciones de las otras propiedades se basan en una ordenada
aplicación de los axiomas y son como siguen:
P2) Idempotencia:
P3) Elementos absorbentes:
P4) Ley de absorción:
A3) A4) A2) A4) A3)
a+a = (a+a)·1 = (a+a)·(a+a') = a+(a·a') = a+0 = a
A3) A4) A2) A3) A4)
a+1 = 1·(a+1) = (a+a')·(a+1) = a+(a'·1) = a+a' = 1
A1) A3) A1)A2) P3) A3)
a+a·b = a+b·a = 1·a+b·a = (1+b)·a = 1·a = a
P5) Asociatividad: la demostración se obtiene en varias etapas
P4) P4) P4) A2)
a) a+a·(b·c) = a = a·(a+c) = (a+a·b)·(a+c) = a+((a·b)·c)
A2) A4) A3) A2) A3)
b) a'+(a·(b·c)) = (a'+a)·(a'+b·c) = 1·(a'+b·c) = a'+(b·c) = (a'+b)·(a'+c) =
A4) A3) A2)
= (1·(a'+b))·(a'+c) = ((a'+a)·(a'+b))·(a'+c) = (a'+(a·b))·(a'+c) = a'+((a·b)·c)
Multiplicando a) y b)
(a+a·(b·c))·(a'+a·(b·c)) = (a+(a·b)·c)·(a'+(a·b)·c)
y simplificando ambos miembros de esta igualdad
(a+a·(b·c))·(a'+a·(b·c)) = (a·(b·c)+a)·(a·(b·c)+a') = a·(b·c)+(a·a') = a·(b·c)+0 = a·(b·c)
(a+(a·b)·c)·(a'+(a·b)·c) = ((a·b)·c+a)·((a·b)·c+a') = (a·b)·c+(a·a') = (a·b)·c+0 = (a·b)·c
quedando demostrada la asociatividad del producto
P6) Unicidad del complementario:
x = 1·x = (a'+a)·x = a'·x+a·x = a'·x+0 = a'·x = x·a' = 0+x·a' = a·a'+x·a'=