Cuaderno III: Estructuras algebraicas.

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S = {n∈N ⎪ (x 1 •x 2 •...•x n )' = x n '•...•x 2 '•x 1 '}
que verifica
1∈S
n∈S
pues (x 1 )' = x 1 '
⇒ (x 1 •x 2 •...•x n )' = x n '•...•x 2 '•x 1 ' ⇒
⇒ ((x 1 •x 2 •...•x n )•x n +1 )' = x n ' +1 •(x 1 •x 2 •...•x n )' ⇒
⇒ (x 1 •x 2 •...•x n •x n+1 )' = x n ' +1 •(x n '•..•x 2 '•x 1 ') = x n ' +1 •x n '•...•x 2 '•x 1 '
⇒ n+1∈S
⇒
En el caso de notación aditiva, si x 1 = x 2 = ... = x n es
(n)
−(nx) = −(x+x+ ... +x) = (−x)+(−x)+ ... +(−x) = n(−x)
representándose por –nx ; en notación multiplicativa
representándose por x -n .
(n)
(n)
(n)
(x n ) -1 = (xx...x) -1 = x -1 x -1 ...x -1 = (x -1 ) n
c) En la estructura (A,•) diremos que a∈A es regular o simplificable si verifica
(∀x,y∈A) ((x•a = y•a ⇒ x = y) ∧ (a•x = a•y ⇒ x = y))
Si únicamente es cierta una de las dos implicaciones, hablaremos de elemento regular a la
derecha o a la izquierda. Se verifica que si • es asociativa y a tiene simétrico, a', entonces a
es regular, pues
x•a = y•a ⇒
(x•a)•a' = (y•a)•a' ⇒ x•(a•a') = y•(a•a') ⇒ x = y
y análogamente se demuestra la otra implicación.
d) En (A,•) diremos que a∈A es elemento idempotente si verifica a•a = a.
Ejemplo
III.1.8
En la estructura (N,+) se verifica
+ es asociativa, conmutativa y 0 es elemento neutro: (∀x∈N)(x+0 = x).
0 es simétrico de sí mismo, por ser elemento neutro, y para cualquier otro
elemento x∈N no existe simétrico ya que no hay ningún número natural x' tal
que x+x' = 0.
Todo elemento es regular pues x+a = y+a ⇒ x = y