Cuaderno III: Estructuras algebraicas.

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A1) Conmutatividad
A2) Distributividad
a+b = b+a
a·b = b·a
a+(b·c) = (a+b)·(a+c)
a·(b+c) = (a·b)+(a·c)
A3) Existen dos elementos 0 y 1 tales que
a+0 = a a·1 = a
A4) Para todo a∈A, existe un a'∈A, llamado complementario de a, tal que
a+a' = 1 a·a' = 0
Estos axiomas hacen del álgebra de Boole una estructura que contiene como casos
particulares al álgebra de proposiciones y al álgebra de las partes de un referencial E, con las
equivalencias de notación siguientes:
Algebra de Boole Algebra de Proposiciones Algebra de P(E)
_________________________________________________________________
a P A
+ ∨ ∪
· ∧ ∩
a' ¬P A'
1 τ E
0 C Ø
aunque existen otras álgebras booleanas distintas.
Ejemplo III.6.1
Si en el conjunto B = {0,1} definimos dos l.c.i. mediante las tablas
+ 0 1
0 0 1
1 1 1
· 0 1
0 0 0
1 0 1
el resultado (B,+, ·) es un álgebra de Boole, por verificar los cuatro axiomas que la
definen; por ejemplo, ambas son conmutativas, por ser simétricas las tablas, y
1' = 0 0' = 1
Este álgebra de Boole se denomina álgebra binaria y es de gran importancia en las
aplicaciones a la electrónica, como veremos más adelante.