Cuaderno III: Estructuras algebraicas.

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Sea (K,+,·) un cuerpo. Consideremos sucesiones en K, es decir, aplicaciones
N K
0 a 0
1 a 1
. . . . .
n a n
. . . . .
que al distinguirse entre sí por las imágenes de los elementos de N, se representan por
(a 0 ,a 1 ,...,a n ,...)
denominándose a a 0 , a 1 ,...,a n primero, segundo,..., n-ésimo término de la sucesión.
Llamaremos sucesión casi-nula, aquella cuyos términos son nulos a partir de uno en
adelante, es decir, aquella sucesión (a 0 ,a 1 ,...,a n ,...) para la cual existe un n∈N tal que
(∀i∈N) (i > n ⇒ a i = 0)
donde, como es habitual, 0 representa al elemento neutro de la primera l.c.i. en (K,+,·).
Escribiremos una sucesión casi-nula mediante la notación
(a 0 ,a 1 ,...,a n ,0,...)
donde a n ≠ 0 y algún a i puede ser nulo. Dado un cuerpo (K,+,·) llamaremos polinomio
sobre K a una sucesión casi nula de elementos de K
P = (a 0 ,a 1 ,...,a n ,0,...)
Los elementos a 0 ,a 1 ,,a n se denominan coeficientes, a 0 es el término independiente, a n ,
que es el elemento de K distinto de cero con mayor subíndice, se denomina coeficiente
dominante y a su subíndice n, grado del polinomio
n = gr(P)
Si a n = 1 el polinomio se denomina polinomio mónico. Vamos a convenir en que la sucesión
nula es una sucesión casi-nula, es decir, que existe el polinomio
(0,0,...,0,...)
que llamaremos polinomio nulo, al que atribuimos por grado −∞, siendo
(∀n∈N) (n > −∞ ∧ n+(−∞) = −∞)
En el conjunto de polinomios sobre K vamos a definir dos l.c.i., que denominaremos suma y
producto, inducidas por las operaciones de K. Dados dos polinomios
P = (a 0 ,a 1 ,...,a n ,0,...) Q = (b 0 ,b 1 ,...,b m ,0,...)
definimos la suma de ambos, que escribiremos P+Q, como el polinomio