Cuaderno III: Estructuras algebraicas.

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Demostraciones:
1) Sean
m i = x 1
z1·...· x n
z n
M i = x 1
t 1
+... + x n
t n
de manera que cuando z j es ' entonces t j no lo es y viceversa, según la representación que
hemos definido para mintérminos y Maxtérminos; por ello, tendremos
m i·M i = x 1
z1·...·x n
zn·( x 1
t 1
+...+ x n
t n
) = x 1
z1·...·x n
zn·x 1
t 1
+...+ x 1
z1·...·x n
zn·x n
t n
= 0+...+0 = 0
demostrándose de forma análoga que
m i +M i = 1
2) Por inducción, definiendo para ello el conjunto
que verifica:
S = {n∈N ⎪ la suma de todos los mintérminos en n variables es 1}
a) 1∈S pues x+x'= 1
b) m∈S ⇒ m+1∈S pues los 2 m+1 mintérminos en las variables x 1 ,x 2 ,...,x m ,x m+1
son de dos tipos:
2 m mintérminos con x m+1 y 2 m mintérminos con x m ' +1
por lo que la suma de todos ellos puede descomponerse en la forma
∑ mintérminos = (∑ de los 2 m mintérminos en x m ' +1 ) +
+(∑ de los 2 m mintérminos en x m+1 ) =
= x m ' +1·(∑ de los 2 m mintérminos en x 1 ,...,x m ) +
+x m+1·(∑ de los 2 m mintérminos en x 1 ,...,x m ) =
= x m ' +1·1+x m+1·1 = x m ' +1 +x m+1 = 1
2') Aplicando a esta igualdad anterior las fórmulas de De Morgan
2 n – 1
∑ m i
i = 0
2 n – 1
∑
i = 0
= 1 ⇒ ( m i )' = 1' ⇒
2 n – 1
∏
i = 0
2 n – 1
∏
i = 0
(m i )' = 0 ⇒ M i = 0
3) Si dos mintérminos son distintos es porque existe, por lo menos, alguna variable x i que
aparece con ' en uno y no en el otro con lo que el producto de ambos es
m i·m j = (... ·x i · ...)·(... ·x i ' · ...) = x i ·x i ' ·(....) = 0·(...) = 0
3') Aplicando de nuevo las fórmulas de De Morgan a esta igualdad