Cuaderno III: Estructuras algebraicas.

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Dos elementos x e y de un anillo (A,+,·) diremos que son divisores de cero si siendo
distintos de cero, su producto da 0, es decir
x e y divisores de cero si y sólo si x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ xy = 0
En A puede que existan divisores de cero y puede que no; en este último caso diremos que
(A,+,·) es anillo de integridad.
Ejemplo III.3.3
(Z,+,·) (Q,+,·) (R,+,·) y (C,+,·) son todas ellas anillos de integridad. El anillo del
Ejemplo III.3.2 es anillo de integridad pues, teniendo en cuenta que el neutro de la
primera l.c.i. es 6, si
x∆y = 6 ⇒ xy−6(x+y)+42 = 6 ⇒ x(y−6) = −36+6y = 6(y−6) ⇒ x = 6 ∨ y = 6
por lo que no existen divisores de cero.
Sea un anillo (A,+,·) y B un subconjunto no vacío de A; diremos que (B,+,·) es subanillo
de (A,+,·) o, más brevemente, B subanillo de A, si (B,+,·) es un anillo; esto es equivalente a
(∀x,y∈B) (x−y∈B ∧ xy∈B)
ya que entonces (B,+) es subgrupo de (A,+) y B es estable para ·, con lo cual se verifican las
propiedades asociativa y distributiva de esta l.c.i. en B, ya que se verifican en A. Como
subanillos triviales tenemos {0} y el propio A.
Ejemplo III.3.4
(R,+,·) es un anillo conmutativo con elemento unidad, subanillo de (C,+,·) pues la
diferencia y el producto son l.c.i. en R. El anillo (R,+,·) contiene como subanillo a
(Q,+,·) del cual es subanillo (Z,+,·)
Sea un anillo (A,+,·) e I un subconjunto no vacío de A; diremos que (I,+,·) es un ideal de
(A,+,·) si se verifican las condiciones
1) (∀x,y∈I) (x−y∈I)
2) (∀x∈I) (∀a∈A) (ax∈I ∧ xa∈I)
es decir un subgrupo aditivo que verifica la condición 2), más restrictiva que la condición
análoga de subanillo, por lo que todo ideal es un subanillo.
Otra estructura importante con dos l.c.i. es la estructura de cuerpo definida como sigue:
⎪ 1) (K,+,·) anillo unitario
(K,+,·) cuerpo si y sólo si ⎪
⎪ 2) Para todo x∈K* existe inverso x
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