Cuaderno III: Estructuras algebraicas.

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De las condiciones generales para subgrupo, y de acuerdo con el razonamiento del ejemplo
anterior, la asociatividad y la conmutatividad se cumplirán siempre sobre cualquier subconjunto
H, pues si • es asociativa y conmutativa en G, lo es para todos los elementos de G, en particular
para los de H. Además vamos a demostrar que las tres restantes pueden reducirse a una, es
decir
1) H es estable para • ⎥
⎥
2) e∈H ⎥ equivalen (∀x,y∈H)(x •_ y∈H)
⎥
3) (x∈H) (x'∈H) ⎥
donde •_ es la operación inversa de • para la que, como hemos visto anteriormente
a •_ b = a•b'
En efecto, al ser condición necesaria y suficiente tendremos que demostrar los dos teoremas que
conlleva. Si se verifican 1), 2) y 3) para cualesquiera x,y∈H
x∈H
y∈H ⇒ y'∈H
⎥
⎥ ⇒ x•y'∈H ⇒ x •_ y∈H
⎥
Recíprocamente,
2) : x∈H ⇒ x •_ x∈H ⇒ x•x'∈H ⇒ e∈H
3) : e∈H ∧ x∈H ⇒ e •_ x∈H ⇒ e•x'∈H ⇒ x'∈H
1) : x∈H ∧ y∈H ⇒ x∈H ∧ y'∈H ⇒ x •_ y'∈H ⇒ x•(y')'∈H ⇒ x•y∈H
En un grupo aditivo (G,+) la condición de subgrupo será
y en un grupo multiplicativo (G,·) será
(∀x,y∈H) (x−y∈H)
(∀x,y∈G) (x/y∈H)
puesto que la diferencia y el cociente son las operaciones inversas de la suma y el producto,
respectivamente.
La condición de subgrupo es muy usada cuando queremos demostrar que una estructura dada
es grupo si está contenida en un grupo establecido anteriormente.
Ejemplo III.2.4
El ejemplo anterior III.2.3 puede plantearse así
(H,·) será grupo si (H,·) es subgrupo de (Q*,·), es decir, si
(∀x,y∈H)(x/y∈H)