Cuaderno III: Estructuras algebraicas.

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en la que a cada par de elementos de A×B le corresponde un único elemento de C que, en
principio, podemos representar, mediante la notación específica para funciones, por f(a,b). Pero
siguiendo la notación tradicional que se ha empleado para las operaciones, es mejor representar
la operación por símbolos especiales +, ∆, o,... y la imagen de un par, denominada compuesto
de los dos elementos, escribirlo mediante las letras que designan los elementos del par
separadas por el símbolo de la operación
∆ : A×B
(a,b)
C
a∆b
Los símbolos tradicionales de suma y producto de números, + y ·, también se utilizan como
símbolos de operaciones entre conjuntos, cualesquiera que sea la naturaleza de sus elementos.
Según los conjuntos sobre los que se define una operación se denomina de un modo más
concreto:
a) Ley de composición interna (l.c.i) sobre A, es una aplicación
• : A×A
(a,b)
A
a•b
Cuando para simbolizar una l.c.i. se usa el símbolo + se denomina notación aditiva y si se
usa · se llama notación multiplicativa; al igual que en el producto de números, es frecuente
omitir del símbolo · para expresar el producto de dos elementos, siempre que no haya lugar a
ambigüedades.
b) Ley de composición externa (l.c.e) sobre A, con dominio de operadores B, es una
aplicación
§ : B×A A
(λ,a) λ§a
donde, para evitar confusiones, suelen emplearse dos tipos de letras para distinguir los
elementos de A y los de B.
No son éstos los únicos tipos de operaciones, aunque si los más frecuentes.
Una ley de composición vendrá definida cuando se conozca la imagen de cada par del
conjunto inicial, lo cual puede hacerse por extensión, si se trata de conjuntos con pocos
elementos, o por comprensión. Si es por extensión, las imágenes de los pares suelen disponerse
en un cuadro que se denomina tabla de la operación y si es por compresión habrá que dar
un predicado, que puede ser una fórmula, para averiguar la imagen de cualquier par.
Ejemplo III.1.1
Sobre N son leyes de composición internas la suma y el producto
+ : N×N N · : N×N N
(a,b) a+b (a,b) a·b