Cuaderno III: Estructuras algebraicas.

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única pues si
x 1 solución de x•b = a ⇒ x 1 •b = a ⎪
⎪ ⇒ x1 •b = x 2 •b ⇒ x 1 = x 2
x 2 solución de x•b = a ⇒ x 2 •b = a ⎪
Para demostrar 7) basta tener en cuenta que según la propiedad 6), la ecuación x•a = a tiene
por única solución x = a•a' = e; lo mismo para a•x = a .
La anterior propiedad 6) tiene dos consecuencias interesantes; una ya ha sido mencionada y
es la posibilidad de pasar términos de un miembro a otro de una igualdad, cambiándolos por su
simétrico, y la otra es la posibilidad de definir en G una nueva l.c.i., del siguiente modo
•_ : G×G
(a,b)
G
a •_ b = x siendo x la solución de x•b = a
con lo que todo par de G×G tiene imagen única, que es el elemento que compuesto por • con el
segundo nos da el primero, y así •_ es l.c.i. sobre G. Para hallarlo basta tener en cuenta la
solución de la ecuación x•b = a, con lo que
a •_ b = a•b'
En los grupos aditivos esta operación inversa de + se denomina diferencia y se representa
por −, de forma que la diferencia de dos elementos del grupo, llamados minuendo y
sustraendo, será el elemento que sumado con el sustraendo nos da el minuendo y es igual a la
suma del minuendo con el opuesto del sustraendo. En grupos multiplicativos la operación
inversa de · se denomina cociente, representándose por /, siendo el cociente de dos elementos
del grupo, llamados dividendo y divisor, el elemento que multiplicado por el divisor nos da
el dividendo y es igual al dividendo por el inverso del divisor.
Ejemplo III.2.2
Vamos a particularizar las propiedades anteriores al grupo (Z,+). Tendremos
1) 0 es único
2) El opuesto −x de un elemento x, es único
3) (∀x∈Z) (−(−x) = x)
4) (∀x,y∈Z) (−(x+y) = (−x)+(−y))
5) (∀a∈Z) (x+a = y+a ⇒ x = y)
6) La ecuación x+b = a tiene como única solución x = a+(−b)
La operación inversa, que esta propiedad permite definir, se denomina diferencia y es
Z×Z
(a,b)
Z
a−b = x siendo x la solución de x+b = a
es decir, la diferencia entre a y b es el número entero que sumado con b (sustraendo)
nos da a (minuendo), que según lo anterior será a−b = a+(−b).