Cuaderno III: Estructuras algebraicas.

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16 multiplicativa, (A,+,·). La estructura (A,+,·) es un anillo si verifica Si además ⎪ + es asociativa ⎪ ⎪ + es conmutativa 1) (A,+) grupo abeliano ⇔ ⎪ ⎪ existe elemento neutro para + : 0 ⎪ ⎪ para todo x∈A existe opuesto: −x 2) · es asociativa 3) · es distributiva respecto a + 4) · es conmutativo se denomina anillo conmutativo y si 5) existe elemento neutro para la operación · se denomina anillo con elemento unidad o anillo unitario. En este caso un elemento a del anillo se denomina inversible si tiene inverso, es decir, si existe a -1 ∈A tal que aa -1 = a -1 a = e. Como hemos utilizado la notación aditiva para la primera operación, su elemento neutro lo designaremos por el símbolo 0, el opuesto de x por −x ; análogamente como para la segunda l.c.i. hemos usado la notación multiplicativa, su elemento neutro, si lo tiene, lo denominaremos elemento unidad y se representa por 1. Ejemplo <strong>III</strong>.3.1 Para los principales conjuntos numéricos, tenemos (N,+,·) no es anillo pues (N,+) no es grupo. (Z,+,·), (Q,+,·), (R,+,·) y (C,+,·) son anillos conmutativos con elemento unidad. (R,·,+) no es anillo pues (R,·) no es grupo. (R*,·,+) no es anillo pues + no es distributiva con respecto a · Ejemplo <strong>III</strong>.3.2 Sobre Z definimos las l.c.i. a§b = a+b−6 a∆b = ab−6(a+b)+42 Se verifica que (Z,§) es grupo abeliano
17 a) § es asociativa (a§b)§c = a§(b§c) ↑ (a+b−6)§c ⎥ a§(b+c−6) ⎥ (a+b−6)+c−6 = a+(b+c−6)−6 que son iguales por las propiedades asociativa y conmutativa de + en Z. b) § es conmutativa a§b = b§a ↑ a+b−6 = b+a−6 iguales por la propiedad conmutativa de + en Z. c) elemento neutro d) simétrico a§e = a ⇒ a+e−6 = a ⇒ e = 6 a§a' = 6 ⇒ a+a'−6 = 6 ⇒ a' = 12−a luego todo elemento de Z tiene simétrico. Respecto de la otra operación tenemos e) ∆ es asociativa (a∆b)∆c = (ab−6(a+b)+42)∆c = (ab−6(a+b)+42)c−6((ab−6(a+b)+42)+c)+42 a∆(b∆c) = a∆(bc−6(b+c)+42) = a(bc−6(b+c)+42)−6(a+(bc−6(b+c)+42))+42 que son iguales por asociatividad, conmutatividad y distributividad de + y · en Z. f) ∆ distributivo respecto a § (a§b)∆c = (a+b−6)∆c = (a+b−6)c−6((a+b−6)+c)+42 (a∆c)§(b∆c) = (ac−6(a+c)+42)§(bc−6(b+c)+42) = = (ac−6(a+c)+42)+(bc−6(b+c)+42)−6 que son iguales por las mismas razones anteriores. g) ∆ es conmutativa h) elemento unidad a∆b = b∆a ↑ ab−6(a+b)+42 = ba−6(b+a)+42 a∆u = a ⇒ au−6(a+u)+42 = a ⇒ u (−6+a) = −42+7a = 7(−6+a) es decir, 7 es el elemento unidad. Se trata pues de un anillo conmutativo unitario.
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