Cuaderno III: Estructuras algebraicas.

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〈a〉 = {x∈Z ⎪ x−a = (5)} = (5)+a
por lo que 〈0〉 = {x∈Z ⎪ x−0 = (5)} = (5) 〈1〉 = {x∈Z ⎪ x−1 = (5)} = (5)+1
〈2〉 = {x∈Z ⎪ x−2 = (5)} = (5)+2 〈3〉 = {x∈Z ⎪ x−3 = (5)} = (5)+3
〈4〉 = {x∈Z ⎪ x−4 = (5)} = (5)+4
no existiendo más clases de equivalencia pues todo número entero al dividirlo por 5 da
un resto igual a 0, 1, 2, 3, 4 o 5. El conjunto cociente es por tanto
Z/(5) = {〈0〉,〈1〉 ,〈2〉 ,〈3〉 ,〈4〉}
La suma y producto en Z pueden extenderse al conjunto cociente Z/(n) mediante
〈x〉+〈y〉 = 〈x+y〉
〈x〉〈y〉 = 〈xy〉
Vamos a ver que están bien definidas, es decir, que las clases resultantes, 〈x+y〉 y 〈xy〉, no
dependen de los representantes elegidos para cada una de ellas:
x,x'∈〈x〉 ⇔ x'–x = (n) ⎪ (x'+y')–(x+y) = (x'–x)+(y'–y) = (n) ⇔ x'+y',x+y∈〈x〉
⎪ ⇒
y,y'∈〈y〉 ⇔ y'–y = (n) ⎪ (x'y')–(xy) = y'(x'–x)+x'(y'–y) = (n) ⇔ (x'y'),(xy)∈〈x〉
Se demuestra fácilmente que (Z/(n),+,·) tiene la misma estructura que (Z/(n),+,·), es decir,
es un anillo conmutativo con elemento unidad. En efecto, la asociatividad, conmutatividad y
distributividad se deducen directamente de las mismas propiedades para la suma y producto en
Z. Por ejemplo,
〈x〉(〈y〉+〈z〉) = 〈x〉〈y+z〉 = 〈x(y+z)〉 = 〈xy+xz〉 = 〈xy〉+〈xz〉 = 〈x〉〈y〉+〈x〉〈z〉
Análogamente se prueba que el elemento neutro en la suma es la clase 〈0〉 y elemento neutro en
el producto es la clase 〈1〉.
Este anillo Z/(n) es un anillo de integridad si y sólo si n es primo. En efecto, si n no es primo
existe una descomposición en factores
n = ab ⇒ 〈0〉 = 〈n〉 = 〈ab〉 = 〈a〉〈b〉
por lo que en Z/(n) existen divisores de cero; recíprocamente, si n es primo es anillo de
integridad ya que
〈a〉〈b〉 = 〈0〉 ⇒ 〈ab〉 = 〈0〉 ⇒ ab = kn
y como n es primo, entonces es divisor de a o b, es decir, 〈a〉 = 〈0〉 o 〈b〉 = 〈0〉. Además,
como Z/(n) es finito, entonces (Z/(n),+,·) es un cuerpo pues para cualquier clase 〈x〉∈ Z/(n)*
existe inverso: en efecto, al ser Z/(n) finito será Z/(n) = {〈x 1 〉,...,〈x n 〉} y los productos
〈x〉〈x 1 〉,..., 〈x〉〈x n 〉