Cuaderno III: Estructuras algebraicas.

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es decir, el cociente entre b, dividendo, y a, divisor, es el elemento de K* que multiplicado por
a es igual a b, y según el resultado anterior, será
b/a = ba -1
Esta operación puede extenderse al caso de que el dividendo sea cero, ya que
0/a = 0·a -1 = 0
Dado un cuerpo (K,+,·) y un subconjunto no vacío J ⊆ K; diremos que (J,+,·) es un
subcuerpo de (K,+,·) o, más brevemente, J subcuerpo de K, si (J,+,·) es cuerpo, lo que,
según los resultados anteriores, equivale a
1) (∀x,y∈J) (x−y∈J)
2) (∀x∈J) (∀y∈J*) (xy -1 ∈J)
Por ejemplo, Q es subcuerpo de R pues la diferencia y el cociente de dos números racionales es
un número racional. De forma análoga R es subcuerpo de C.
Ejercicios
III.12.- Estudiar las siguientes estructuras algebraicas:
x+y
1) (R + ,⊗) con x⊗y = –––––
xy+1
2) (R*,⊕,⊗) con x⊕y = 4xy x⊗y = 3x+2y
y resolver, si es posible, las ecuaciones
4⊗(x⊕3) = 2 y 5⊕(x 2 ⊗2) = 1
III.13.- Sobre el conjunto A = {x∈R ⎪ x > 0} se definen las siguientes l.c.i.:
a) a•b = x tal que 1/x = 1/a+1/b
b) a∆b = max (a,b)
c) aob = min (a,b)
Estudiar las estructuras (A,•), (A,∆), (A,o), (A,∆,o), (A,o,∆)
III.14.- En Z×Z se definen las operaciones
a) Estudiar la estructura (Z×Z,+,·)
(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)
(a,b)·(c,d) = (ac–5bd,ad+bc)