Cuaderno III: Estructuras algebraicas.

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booleana del tipo
m : A n A
(x 1 ,...,x n )
z
m(x 1 ,...,x n ) = x 1
z1· ...· x n
n
donde z es una prima (') o nada y un Maxtérmino de orden n es una función booleana del tipo
M : A n A
(x 1 ,...,x n )
z
M(x 1 ,...,x n ) = x
1 z
1
+ ... +x n
n
Ejemplo III.6.2
Si (A,+,·) es un álgebra de Boole, en el álgebra booleana (F 3 (A),+,·) de las funciones
de tres variables sobre A, un mintérmino es, por ejemplo
y un Maxtérmino es
m : A 3 A
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) m(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = x 1·x 2 '·x 3 '
M : A 3 A
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) M(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = x 1 '+x 2 +x 3
siendo ambos complementarios pues
m+M : A 3 A
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) (m+M)(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = (x 1·x 2 '·x 3 ')+(x 1 '+x 2 +x 3 ) = 1
m·M : A 3 A
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) (m·M) (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = (x 1·x 2 '·x 3 ')·(x 1 '+x 2 +x 3 ) = 0
ya que por las propiedades del álgebra de Boole
(x 1·x 2 '·x 3 ')·(x 1 '+x 2 +x 3 ) = (x 1·x 2 '·x 3 '·x 1 ')+(x 1·x 2 '·x 3 '·x 2 )+(x 1·x 2 '·x 3 '·x 3 ) =
= ((x 1·x 1 ') x 3 '·x 2 ')+(x 1·(x 2 '·x 2 ) ·x 3 ')+(x 1·x 2 '·(x 3 '·x 3 )) =
= (0·x 3 '·x 1 ')+(x 1·0·x 3 ')+(x 1·x 2 '·0) = 0+0+0 = 0
demostrándose análogamente la otra igualdad.
Es evidente que, según su definición, hay en total 2 n posibles mintérminos y 2 n posibles
Maxtérminos distintos. Todos ellos se representan por la misma letra, m para los mintérminos y
M para los Maxtérminos, afectada de un subíndice construído de acuerdo con los criterios:
"dada la fórmula de un mintérmino, x 1
z 1·...·x n
z n
escribamos un 0 si un z es ' y un 1 si no
lo es; la sucesión de ceros y unos resultante representa un número en el sistema de base
2 que, pasado a base 10, es el subíndice del mintérmino"
"dada la fórmula de un Maxtérmino, x 1
z 1
+...+x n
z n
, escribamos un 1 si un z es ' y un 0