Cuaderno III: Estructuras algebraicas.

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Ejemplo
III.1.5
Es ley de composición externa en el conjunto
F = {funciones f : N N}
con dominio de operadores N, la aplicación
N×F F
(a,f) af : N N
x (af)(x) = af(x)
Ejemplo
III.1.6
Sea el conjunto de funciones reales de variable real
F = {f : A R con A ⊆ R }
En F pueden definirse la suma, diferencia y producto de funciones mediante la suma,
diferencia y producto de números reales
±· : F×F F
(f,g) f±·g : A R
x (f±·g)(x) = f(x)±·g(x)
pues f(x) y g(x) son elementos de R y como tales pueden sumarse, restarse y
multiplicarse. Sin embargo el cociente es l.c.i. únicamente para funciones que no se
anulan en A, ya que si g(x) = 0 no existe f(x)/g(x) como elemento de R.
Un conjunto en el que se han definido una o varias leyes de composición se denomina
estructura algebraica.
Es posible generalizar las propiedades de las operaciones clásicas de suma y producto de
números a una ley de composición interna general.
Sea • una l.c.i. en A:
a) Si B es un subconjunto de A, diremos que B es estable para • si se verifica
(∀x,y∈B) (x•y∈B)
es decir, si el compuesto de dos elementos de B también pertenece a B; así, por ejemplo, para
la estructura algebraica (N,+) el conjunto de los números pares es estable para la suma y el
conjunto de los números impares no lo es.
b) Diremos que • es conmutativa si se verifica
(∀x,y∈A) (x•y = y•x)