Cuaderno III: Estructuras algebraicas.

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mx+nx = (m+n)x m(nx) = (mn)x x m·x n = x m+n (x n ) m = x nm
pues, por ejemplo
(n) (n) (m) (n) (mn)
m(nx) = (x+...+x)+(x+...+x)+ ... +(x+...+x) = x+x+....+x = (mn)x
d) Si A tiene otra l.c.i., ∆, diremos que ∆ es distributiva respecto a • si se verifica
(∀x,y,z∈A) (x∆(y•z) = (x∆y)•(x∆z) ∧ (y•z)∆x = (y∆x)•(z∆x))
que en el caso de ser ∆ conmutativa se reduce a una sola igualdad.
Ejemplo III.1.7
En el conjunto R con las l.c.i. + y · se verifica
a(b+c) = ab+ac
por lo que el producto de números reales es distributivo respecto de la suma y sin
embargo la suma no es distributiva respecto al producto ya que, en general
a+(bc) ≠ (a+b)(a+c)
como fácilmente puede comprobarse. En P(E) con las l.c.i. de unión e intersección
tenemos que
una es distributiva respecto de la otra.
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
En una estructura con l.c.i. (A,•) podemos distinguir los siguientes elementos particulares:
a) e∈A es elemento neutro si verifica
(∀x∈A) (e•x = x•e = x)
igualdades que se reducen a una sola si la l.c.i. es conmutativa. El elemento neutro puede
existir o no, pero si existe es único, ya que si hubiera dos e 1 y e 2 tendríamos
e 1 neutro ⇒ e 1 •e 2 = e 2 ⎪
⎪ ⇒ e1 = e 2
e 2 neutro ⇒ e 1 •e 2 = e 1 ⎪
Si se utiliza notación aditiva, el neutro suele designarse por el símbolo 0 y en el caso de
notación multiplicativa por el símbolo 1 y se denomina elemento unidad. Si e∈A verifica
solamente
(∀x∈A) (e•x = x)