Cuaderno III: Estructuras algebraicas.

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PQ = (c 0 ,c 1 ,...,c n+m ,0,...)
tal que c 0 = a 0 b 0
c 1 = a 0 b 1 +a 1 b 0
c 2 = a 0 b 2 +a 1 b 1 +a 2 b 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c i = a 0 b i +a 1 b i-1 +...+a i-1 b 1 +a i b 0 =
siendo el coeficiente dominante del producto
∑ a r b s
r+s = i
c m+n = a 0 b m+n +a 1 b m+n-1 +...+a n-1 b m+1 +a n b m +a n+1 b m-1 +...+a m+n-1 b 1 +a m+n b 0 =
ya que
= a 0·0+a 1·0+...+a n-1·0+a n b m +0·b m-1 +...+0·b 1 +0·b 0 = a n b m
c m+n+1 = a 0 b m+n+1 +a 1 b m+n +...+a n-1 b m+2 +a n b m+1 +a n+1 b m +...+a m+n b 1 +a m+n+1 b 0 =
= a 0·0+a 1·0+...+a n-1·0+a n·0+0·b m +...+0·b 1 +0·b 0 = 0
siendo también nulos todos los coeficientes posteriores. La relación entre los grados es
gr(PQ) = gr(P)+gr(Q)
Los polinomios para la suma anterior y el producto así definido tienen estructura de anillo
conmutativo con elemento unidad y de integridad. En efecto
1) El producto es asociativo ya que dados tres polinomios
tenemos
P = (a 0 ,a 1 ,...,a n ,0,...) Q = (b 0 ,b 1 ,...,b m ,0,...) R = (d 0 ,d 1 ,...,d l ,0,...)
siendo, por tanto
con p k =
con p' k =
∑
r+j = k
∑
i+u = k
∑
P·Q = (c 0 ,c 1 ,...,c m+n ,0,...) con c i = a r
r+s = i
∑
Q·R = (c' 0 ,c' 1 ,...,c m+l ' ,0,...) con c' j = b s
a r c' j
s+u = j
P·(Q·R) = (p 0 ,p 1 ,...,p n+(m+l) ,0,...)
= ∑ a r
r+j = k
c i d u = ∑
∑
( b s d u ) = a r (b s d u ) ; análogamente
s+u = j
∑
r+s+u = k
(P·Q)·R = (p' 0 ,p' 1 ,...,p' (m+n)+l ,0,...)
∑
(
i+u = k r+s = i
∑
a r b s ) d u = a r (b s d u )
r+s+u = k
b s
d u