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100 ARITHMÉTIQUE : COURS MOYEN ET COURS SUPÉRIEUR laircs et les angles formés sont des angles droits. — Vérifier au moyen de l'angle droit de l'équerre. EXERCICES. — 1. Trouver des exemples : a) de lignes parallèles ; b) d'angles ; c) de droites perpendicul.rres. 2. Sur le cahier, dessiner : a.) deux droites par.-.lèles et un dessin d'objets contenant 2 droites parallèles ; b) un angle et un objet formant un angle ; c) deux droites perpendiculaires et un objet contenant deux droites perpendiculaires ; d) deux angles égaux ayant des côtés de grandeurs différentes. = = COURS SUPÉRIEUR — Directions pédagogiques. — Bien établir la définition générale qui peut s'appliquer à tous les produits : pour tous les principes étudiés, en fairo saisir le sens et la portée au moyen d'une vérification numérique chaque fois que c'est possible, fairo ensuite uno démonstration. -=. La multiplication. A. La multiplication des nombres entiers. — Définition générale et principe fondamental : Le produit est au multiplicande comme le multiplicateur est à l'unité. Distinguer le multiplicande (nombre concret) du multiplicateur (nombre abstrait), et le produit (nombre concret de même nature que le multiplicande). THÉORIE <strong>DE</strong> LA MULTIPLICATION. — (Tous les théorèmes relatifs à l'addition s'appliquent à la multiplication qui est une addition abrégée) : 1° Ce que devient le produit : a ) quand on rend un facteur un certain , nombre do fois plus grand ou plus petit ; b) quand on rend un facteur un certain nombre de l'ois plus grand et l'autre un même nombre de fois plus petit; c) quand on rend les 2 facteurs un nombre de fois plus grand ou plus petit ; 2° Multiplier une somme par un nombre ; 3° Multiplier un nombre par une somme. Construction d'une table de Pythagore. EXERCICES. — 1. Que devient un produit de deux nombres quand on multiplie chaque facteur par 4 ? Sachant que, dans ces conditions, le produit a augmenté de 90, en déduire la valeur de ce produit. (Brev. élém., Bordeaux.) Réponse. — Le 1 er facteur - étant multiplié par 4, le produit devient 4 fois plus grand; le 2 e Solution. ,T , , ( Travail du l facteur étant également multiplié par 4, le nouveau produit est encore rendu 4 fois plus grand ; en tout, le produit primitif est rendu 4 x 4 = 16 fois plus grand. Le produit obtenu est donc égal au produit primitif augmenté de 15 fois sa valeur : d'où le produit ayant augmenté de 90, le produit primitif était 90/15 = 6. Vérifier. 2. Quelle est l'erreur commise dans une multiplication dont le multiplicande est 5 641, si on a mis le chiffre 6 des centaines du multiplicateur à la place du 4 qui était aux unités et inversement? (Ec. norm., Seine.) Réponse. — D'après la définition de la multiplication (la rappeler) on a répété 6 fois + 400 fois 5 641 au lieu de 4 fois + 600 fois 5 641. Le produit a augmenté de 6 fois — 4 fois, c'est-à-dire de 2 fois le multiplicande, mais il a diminué de 600 fois — 400 fois, c'est-à-dire de 200 fois le multiplicande. En définitive, le produit a diminué de 200 — 2 = 198 fois le multiplicande. 11 manque au produit 5641 x 198 = 1116 91 8. B. Multiplication des fractions. — a) Multiplier une fraction par un nombre ; b) Multiplier un nombre par une fraction ; ou prendre une fraction d'Un nombre; c) Multiplier une fraction par une fraction (ou fraction de fraction). EXERCICE. — A . Par quel nombre faut-il multiplier le nombre 240 pour l'augmenter de ses 5/6 et quel est le produit? (Ec. norm. prirn.) Réponse. — Le produit sera les 6/6 + 5/6 = 11/6 de 240; il faut donc multiplier 240 par 11/6, et le produit sera 240 x 11/6 = 440. Vérifier : 240 + (240 X 5/6) = 240 + 200 = 440. PROBLÈME. — Un ouvrier fait 8 m. 4/5 d'ouvrage en 2 jours, un 2" ouvrier fai115 m. 5/12 en 3 jours. On demande combien ces 2 ouvriers réunis font de mètres d'ouvrages en 12 j. (Saint-Maixent.) or =.8 m. 4/5 x 12/2 = Nombre de\ g m ^ 5 x g _ 4g m 24/5 ou 52 m. 4/5. m. laits en < ^_ Travail d u 2c = 15 m. 5/12 x 12/3 = * jours- ( 15 m. 5/12 x 4 = 60 m. 5/3 ou 61 m. 2/3. En tout : 52 m. 4/5 + 61 ni. 2/3 = 113 m. 22/15 ou 114 m. 7/15. C. Multiplication des nombres décimaux. (Voir les manuels.) D. Multiplication des nombres complexes. (Voir les manuels.) - E. Produits de plusieurs facteurs..—Remarques: a) Le produit de plusieurs facteurs est indépendant de l'ordre des facteurs; b) Multiplier un produit de plusieurs facteurs par un nombre et réciproquement. EXERCICES. — 1. Démontrer que, pour multiplier un nombre par 40, on peut le multiplier d'abord par 5 et ensuite par 8. (Brev. élém.', Cliambéry.) Réponse. — a X i O = o X 5 X 8.E11 effet : a X 5 X S = a x 40, car dans un produit de facteurs 1 peut remplacer plusieurs facteurs par leur produit effectué. F. Produits de sommes et de différences, — «i Multiplier une somme ou une différence par un nombre, ou réciproquement; b) Multiplier une somme par une somme, une différence par une différence, . une somme par une différence. Dans ces 3 derniers cas, bien insister sur la vérification et sur la démonstration graphique des opérations (voir A. LEMOINE. Arithmétique. Cours supérieur). Établir les règles de la multiplication algébrique, insister entre autres sur la règle des signes : (+ par +) = +, (— par — = +, ( + par —) = — et (— par +) = —. En application : Mise en facteurs communs, simplification des expressions numériques ou algébriques : bien distinguer la simplification d'une somme et celle d'un produit. i EXERCICES. — 1. Trouver, en ne faisant qu'une seule multiplication, la différence entre (134 x 12) et (134 X 5). Expliquer. (Brev. élém., Nancy.) Réponse. — Lorsque tous les termes d'une expression renferment un facteur commun, 011 peut remplacer cette expression par un produit dont les facteurs sont : 1° le facteur commun ; 2° une parenthèse qui a pour termes ceux de l'expression primitive, divisés par le facteur commun, d'où : (134 x 12) — (134 x 5) = 134 (12 — 5) = 134 x î = 938. 2. Démontrer que le produit de 2 nombres diminue lorsqu'on augmente le plus grand nombre d'une unité et qu'on diminue le plus petit d'une unité. Brev. élém., Lyon.) Réponse. — Soient les 2 facteurs A et a, A > a. On a donc : (A +, 1) [a — 1) = (A + 1) a — (A •+ 1 . (car, pour multiplier une somme par une différence, etc. et en effectuant : (A + 1) (a + 1) = A a + a— A — 1 (citer les théorèmes appliqués). La différence avec le produit primitif est de : A a — (A a + a — A — 1 = A a — A a —- a -f- A -{- l = A — a -f- 1 • produit diminue donc de la différence des 2 nombres augmentée de 1. • PROBLÈME. — On a acheté 7 barriques d'huile d'olive contenant chacune 122 I. au prix de 318 fr. les 100 kg. On revend cette huile à raison de 4 fr. 25 le kg. ; mais il y a un déchet de 5 I. 3/4 par barrique. Quel sera le bénéfice réalisé sur la vente totale, sachant que le litre d'huile pèse 0 kg. 915? (Brev. élém., Caen.) Solution. — Bénéfice Nombre de pièces (7). total = Bénéfice par pièce X (a) Prix(Poids = 0 kg. 915 X (122 — 5,75) = Bène-l dp ] 106 kg. 36875. fice ) vente. (Prix = 4 fr. 25 X 106,36875 = 452 fr. 00/. par \b) PrixiPoids = 0 kg. 915 X-122 = 111 kg. 63. pièce I d'ach. (Prix = 318 fr. x 1,1163 = 354 fr. 983. '(cj Bènèf. =452 fr. 067 — 354 fr. 983 = 97 fr. OSi. Réponse: 97 fr. 084 x 7 = 679 fr. 58S ou 679 fr. 60. Coït EN, Instituteur. G. NAMPON. Cent Problèmes de Géométrie et d'Algèbre du Brevet supérieur un'vo^in-îîj'!br. 1-25
HISTOIRE La société féodale. Notions essentielles. I. Dates et faits. — Vers 1050, l'Eglise institue la Trêve de Dieu. — 1260 : Saint Louis impose aux seigneurs en querelle la Quarantaine-le-Roi. — 1195-1199: famine en France. — En 1348 et 1418, la peste ravagé Paris. — De 1100 à 1200, s'organisent les Communes ; les Capétiens fondent de nouvelles villes libres. — 1112 ; révolte des bourgeois de Laon. — De 1200 à 1300 : émancipation d'un grand nombre de serfs. il. Idées à mettre en relief. — 1° La société féodale s'étendit sur toute l'Europe : Au début du x° siècle, la France, la Germanie, l'Italie, l'Espagne sont divisées en une multitude de -propriétés ou fiefs, grands ou petits, dont les possesseurs forment une hiérarchie de suzerains et de vassaux depuis le roi, suzerain suprême, jusqu'au paysan, vassal de tous. En même temps, les châteaux-forts s'élèvent sur les hauteurs, les villes s'entourent de.murailles. 2° Dans la féodalité, le propriétaire est roi sur ses terres : 11 bat monnaie, rend la justice, lève des troupes, fait la guerre à qui lui plaît. Il doit à . son suzerain un serment de fidélité ou hommage, le service militaire, l'aide-en justice,, des subsides en argent dans des cas rares et prévus. « C'est la confusion de la souveraineté et de la propriété ». 3° La société féodale a pour fondement l'inégalité : Au début du xi c siècle, l'évêque de Laon divisait les hommes en deux catégories. Dans le premier groupe, il plaçait les clercs qui prient, les seigneurs ou nobles qui combattent. L'autre groupe est celui des travailleurs qui forment la classe servile et doivent « fournir à tous l'or, la nourriture et le vêtement ». 4° La force joua un grand rôle au moyen âge : En théorie, la société féodale apparaît comme une société de secours mutuels où des obligations réciproques unissent vassal et suzerain. En réalité, la plupart des nobles furent des soldats ignorants et brutaux qui eurent le culte de la force, fidèles au suzerain dans la mesure de sa puissance militaire, , pressurant et molestant ceux qu'ils devaient protéger. Les efforts de l'Eglise pour adoucir ces âmes rudes par l'institution de la chevalerie n'eurent qu'un succès très relatif. 5° La décadence de la féodalité, commencée au XII 0 siècle, est • complète au A"!" 11 siècle : Diminués en nombre et fort appauvris par les Croisades, les seigneurs virent leur puissance décroître, à mesure que grandissait celle du roi, qui leur enleva, peu à peu, tous leurs droits souverains. Par contre, la bourgeoisie prit de l'importance ; elle s'émancipa du joug seigneurial par les chartes communales, s'enrichit par l'industrie et le commerce. -• COURS ÉLÉMENTAIRE = Une foire au moyen âge. I. La foire du Lendit. — Au mois de juin, il y avait aux portes de Paris une grande foire. Elle se tenait dans une vaste plaine entre Paris et Saint-Denis, dans un endroit appelé encore le Lendit. Des milliers de boutiques de bois et de tentes de toile y couvraient la plaine ; les acheteurs y venaient par Centaines de mille. Au moyen âge, il y avait, également d'autres foires célèbres : à Provins,'Troyes, Beaucaire. II. Marchands et marchandises. — Naturellement, on trouvait au Lendit les produits de la région parisienne — vins d'Argenteuil, fromages de Coulommiers — et les objets fabriqués par les ouvriers parisiens ; mais on y venait surtout pour les marchandises apportées de loin : épices et poivre des Indes — on mettait alors du poivre jusque dans le vin — soieries et parfums d'Orient, fourrures de Russie, etc. Métier difficile et, dangereux que celui de marchand : pas de chemins de fer; pour routes, des sentiers où s'embusquaient les brigands, lès seigneurs pillards pour voler les marchandises, rançonner les marchands (expliquer). Aussi les marchands voyageaient par troupes et armés; leurs marchandises, qui valaient cher tout en pesant peu et en tenant peu de place, sur des caisses que HISTOIRE 107 portaient des mulets. Il fallait payer pour traverser une ville, passer un pont. Quand c'était possible, les marchands préféraient voyager sur les rivières et les fleuves; beaucoup étaient venus à la foire du Lendit par la Seine, qui touchait le champ de foire. III. Écoliers, acheteurs et badauds. — Personne n'avait le droit d'acheter ou de vendre avant que les « Esclioliers » de l'Université de Paris, précédés de leurs professeurs montés sur des mules tranquilles, ne fussent venus acheter tout ce qui leur était néces-' saire pour écrire : parchemins, encre; cire, etc. Après, cette procession, la foire s'ouvrait pour plusieurs semaines car on y venait s'approvisionner pour toute une année. Entre ces gens, qui portaient tous les costumes de l'Europe,, c'étaient des cris, des discussions par signes, des disputes pour les monnaies qu'on faisait examiner et peser par des « changeurs ». On venait aussi à la foire pour se distraire ; à côté des boutiques, il y avait des auberges devant lesquelles le tavernier vantait lui-même sa cuisine pour attirer les passants : « Céans (ici), il fait bon dîner 1 Céans il. y a pain frais et harengs chauds et vin d'Auxerre à plein tonnel ! » Plus loin, des jongleurs et des acro; bâtes, montés sur des tréteaux, amusaient les badaudss un joueur de vielle faisait danser des singes et dechiens dressés, pendant que des « esclioliers » réunissaient par un hameçon, les robes de deux commères et que d'adroits coupe-bourses enlevaient à un bourgeois., la bourse d'étoffe qui pendait à sa ceinture. COURS MOYEN ET COURS SUPÉRIEUR Autour de l'an mille. I. Les fléaux du moyen âge. — Longtemps on a affirmé que l'approche de l'an mille avait été pour la société féodale une époque de terreur où tous croyaient h la fin du monde. Des travaux récents d'historiens ont démoli cette légende : l'an mille n a été ni pire ni meilleur que ceux de cette sombre époque. Alors paysan et bourgeois travaillaient dur et gagnaient peu. Et toutes sortes de fléaux venaient encore rendre leur vie plus misérable. II. L'incendie. — Les maisons des villes étaient presque toutes ei} bois. Quand le feu prenait dans une de ces maisons, serrées les unes contre les autres, comme les ruelles trop étroites ne l'arrêtaient pas, il dévorait le quartier, parfois même la ville entière. 11 n'y avait alors ni pompiers, ni pompes et l'eau manquait souvent dans ces villes haut perchées. De 1200 à 1225, Rouen brûla six fois. III. La peste. — Jolies à voir de loin avec leurs tours et leurs clochers, amusantes il parcourir avec lesfaçades sculptées des maisons, les enseignes parlantes accrochées au-dessus des boutiques, les villes du moyen âge étaient insalubres au suprême degré : les ruisseaux qui traversaient les rues servaient dégouts; on y jetait les eaux ménagères, les résidus des boutiques, « les bêtes mortes et autres punaisies ». En pleine ville, servant de places publiques et parfois de marchés, étaient les cimetières regorgeant de cadavres. Aussi; quand la peste s'abattait sur une ville, les habitants mouraient par milliers. D'octobre à la Noël 1418, 100 000 Parisiens moururent. IV. Les g-uerres privées. — Le seigneur n'aimait pas à mourir dans son lit; pour ce soldat, c'était « mourir comme une. bête ». Sous le moindre prétexte, il faisait la guerre à ses voisins. Partout où passaient les belligérants, ils détruisaient les récoltes, brûlaient, les chaumières, pillaient les villes. On cite de pires atrocités : des serfs ne pouvant payer rançon à un seigneur du Périgord, il fit couper les pieds ou les mains, ou crever les. yeux à 150 d'entre eux, tandis que sa femme faisait arracher les seins et les ongles à leurs femmes. V. Les famines. — Ces. guerres privées s'ajoutaient h d'autres causes (voir géographie C. E. et, dans ce n°, la Lecture du samedi) pour amener d'épouvantables famines : de 1000 à 1073, il y eut 48 années de disette. Un chroniqueur nous dit que vers l'an mille « les riches maigrirent et pâlirent, les pauvres rongèrent les racines des forêts. Sur les chemins,les forts saisissaient les faibles, les déchiraient les rôtissaient et les mangeaient. » HISTOIRE : flAUTHIER et <strong>DE</strong>SCHAMPS, Histoire de France. Cours moyen et supérieur. 1.40
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