DIPLOMAMUNKA Matus Péter - MTA SzFKI

1.2 Peierls-torzulás
1.2.1 Elektrongáz dielektromos függvénye
Ahhoz, hogy a TSH kialakulásának mechanizmusát megértsük, első lépésként tekintsük
a dielektromos állandó Lindhard-féle alakját, amit az elektron-elektron kölcsönhatás
átlagtér-elméletben való vizsgálatakor kapunk meg:
ε´qωµ 1 · 4πe2
q 2
∑
k
f ´k · qµ f ´kµ
E´k · qµ E´kµ ω iδ 1 · 4πe2
q
2
L´qωµ (1.1)
A fenti egyenletben E´kµ a k-val jellemezhető állapotok energiája, f ´kµ a Fermi-függvény,
q a perturbáció hullámszámvektora, ω a körfrekvenciája, δ egy kicsiny valós szám, melylyel
0-hoz tartunk, L´qωµ pedig a Lindhard-függvény.
Ha zérus hőmérsékleten sztatikus esetben ábrázoljuk a Lindhard-függvényt, akkor látjuk
(1.1 ábra), hogy a függvénynek 1 dimenzióban logaritmikus szingularitása, 2 dimenzióban
töréspontja, 3 dimenzióban pedig inflexiós pontja van q 2k F -nél. Az egydimenziós
esetben fellépő szingularitás instabilitást eredményez, az elektrongázban ezzel a hullámszámmal
sztatikus moduláció jelenik meg. A divergencia oka az, hogy egydimenziós
esetben a Fermi-felület q 2k F
-es eltolás hatására önmagára képződik le. Véges hőmérsékleten
a szingularitás kisimul, és egy csúcs jelenik meg, amely ln´E F
k B
T µ-vel arányos,
ahol E F
a Fermi-energia.
Magasabb dimanziókban nem teljesül az, hogy a Fermi-felület önmagára képződik le,
viszont erősen anizotóp Fermi-felület esetén létezhet olyan Q vektor (ún. nesting-vektor),
amellyel eltolva a Fermi-felületet, az makroszkópikus tartományban összesimul az eredetivel,
ami szintén a fenti divergenciához vezet. Az egyszerűség kedvéért a további számításokban
az egydimenziós esetre szorítkozunk, ahol mégsem ezt tesszük, azt külön jelezni
fogjuk.
χ´qµ
χ max ln E F
k B
T
1D
0 1
2D
3D
q2k F
1.1 ábra. A Lindhard-függvény 1, 2 ill. 3 dimenzióban
6