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CAPITOLO 1 – I SISTEMI DI RIFERIMENTO
Ruotando il sistema di riferimento attorno all’asse z nel senso orario
dell’angolo θ si ottiene:
x' = cos( α + θ) = cosα cosθ
− sinαsinθ y' = sin( α + θ) = sinα cosθ + cosαsinθ
(1.2)
che possono essere scritte in forma matriciale:
⎡x'⎤
⎡x
cosθ
-y
sin θ ⎤ cosθ
V − O = ⎢
=
y'
⎥ = ⎢
xsin
ycos
⎥
⎣ ⎦ ⎣ θ + θ ⎦ sin θ
-sin
θ x
⋅
cosθ
y
(1.3)
Considerando il versore (V-O) riferito al sistema tridimensionale,
l’espressione precedente assume la forma più generale:
x'
z'
cosθ
−sinθ
V − O = y'
= sinθ
cosθ
0
0
0 0 1
x
y
z
=
A V
(1.4)
con A matrice di rotazione e V versore (V-O).
Inoltre si fa osservare che una rotazione di segno contrario (-θ) permette
di ritrovare il versore di partenza:
x
z
cos( −θ ) −sin( −θ
)
cosθ
sinθ
V − O = y = sin(
−θ ) cos( − θ)
0 y' = − sinθ cosθ
0 y' = B V
0
0 0 1
x'
z'
0
0 0 1
con B matrice trasposta di A. Si ricava facilmente che il prodotto AB=I
con I matrice unitaria.
Passiamo, ora alla generalizzazione e definizione della matrice di rotazione
rispetto ad un asse generico di rotazione, dato che il caso considerato
può essere visto come caso particolare dell’asse di rotazione coincidente
con uno degli assi di riferimento. Sia U, il versore dell’asse di rotazione di
componenti ( u , u , u )
T
1 2 3 rispetto ad un generico sistema di riferimento.
Per una rotazione dell’angolo θ , dalla figura 1.3 si ricava la seguente espressione
vettoriale:
x'
z'