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CAPITOLO 1 – I SISTEMI DI RIFERIMENTO
prodotto vettoriale l x n è un vettore di modulo sinb e perpendicolare al
piano AOC. L’angolo fra i due vettori è dato dall’intersezione dei citati
piani ( Â). Considerando il prodotto scalare dei due vettori calcolati si ha:
( lxm)
⋅ ( lxn)
= sin csin
bcos
Aˆ
= l ⋅
[ mx(
lxn)
] = l ⋅[
l(
m ⋅ n)
− n(
l ⋅ m)
]
= (m ⋅ n)
- (l
⋅ n)(l ⋅ m) = cosa
- cosbcosc
da cui si ricava l’equazione fondamentale dell’Astronomia sferica (I formula
di Eulero):
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos Aˆ
(1.14)
Seguendo lo stesso procedimento si ottengono per rotazione le altre due
relazioni:
cos b = cos a cos c + sin a sin c cos Bˆ
cos c = cos acos
b + sin a sin b cos Cˆ
(1.15)
Le relazioni relative al teorema dei seni sono possibili ricavarle mediante
il seguente prodotto vettoriale:
( l x m)
x ( l x n)
= ( l ⋅ m x n)
l
Per definizione di prodotto vettoriale a primo membro, si ha:
)
( sinbsincsinA)
l = ( l ⋅ m x n)
l
)
sinbsincsinA
= l ⋅m
x n
e per rotazione ciclica dei lati e degli angoli:
)
sincsinasinB
= m ⋅ n x l
)
sinasinbsinC
= n⋅
l x m
Per la proprietà di prodotto vettoriale e scalare i secondi membri delle tre
equazioni trovate sono uguali per cui è possibile scrivere la seguente uguaglianza: