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A( θ) = A ( α) • A ( β) • A ( γ ) .
x y z
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CAPITOLO 1 – I SISTEMI DI RIFERIMENTO
Con l’angolo di rotazione θ positivo nel senso orario. E’ importante ricordare
che in molte applicazioni, dove è usata la terna levogira, il verso
positivo dell’angolo di rotazione è quello antiorario; in queste applicazioni
le matrici di rotazioni (1.9) e (1.10) assumono la seguente forma:
1 0 0
cos β'
A ( α')
= 0 cosα
' sin α'
(1.9.1)
x
0
− sin α'
cosα'
cosγ
'
A ( β') 0 1 0 , A ( γ')
= − sin γ ' cosγ
' 0 (1.10.1)
y
− sin β'
0
0
sin β'
= z
cos β'
1.3 - Relazioni trigonometriche fondamentali
0
sin γ'
Sulla sfera di raggio unitario, come introdotto nel paragrafo 1.1, è possibile
eseguire sia delle operazioni di rotazione di vettore espresso in termini
di coordinate rettangolari che definire trasformazioni che operano su coordinate
sferiche rispetto ad una circonferenza massima ed un polo di riferimento.
In moltissimi casi, operando sulla superficie sferica, sono
molto utili delle relazioni trigonometriche che utilizzano sia lati sia angoli
di un generico triangolo sferico.
Sia ABC un triangolo sferico (v. figura 1.4) ed OXYZ la terna cartesiana
con l’asse OZ passante per il polo B e l’arco AB appartenente al piano OBX
con il punto A di coordinata negativa (-x). La terna rettangolare così definita
permette di determinare le coordinate rettangolari dei tre vertici:
− sinc 0
− sinacos
Bˆ
A = 0 , B = 0 e C = sinasinBˆ
(1.11)
cosc
1
cosa
Operando una rotazione intorno all’asse OY dell’angolo c in modo da portare
l’asse OZ a passare per il punto A, si possono ricavare le coordinate
del punto C:
0
0
1