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8 cosb MARIO VULTAGGIO x' sinbcos Aˆ C = y' = sinbsinAˆ (1.12) z' Figura 1.4 – Rotazione del sistema di riferimento sulla sfera delle direzioni ed il seguente prodotto matriciale permette di esprimere le coordinate di C rispetto al secondo sistema di riferimento: x − sina cos Bˆ x' cosc 0 − sinc sinbcos Aˆ C = y = sinasinBˆ = Ay ( c) y' = 0 1 0 sinbsinAˆ z cos a z' sinc 0 cosc cosb C = sinb cosc cos Aˆ − sinc cosb sinbsinAˆ cosb cosc + sinbsinc cos Aˆ (1.13) Allo stesso risultato si arriva utilizzando alcune proprietà dell'analisi vettoriale. Siano l, m, n, i versori che definiscono i vertici A, B, C del triangolo sferico dal centro O (v. figura. 1.4); il prodotto vettoriale l x m è un vettore di modulo sinc e perpendicolare al piano AOB; allo stesso modo, il
9 CAPITOLO 1 – I SISTEMI DI RIFERIMENTO prodotto vettoriale l x n è un vettore di modulo sinb e perpendicolare al piano AOC. L’angolo fra i due vettori è dato dall’intersezione dei citati piani ( Â). Considerando il prodotto scalare dei due vettori calcolati si ha: ( lxm) ⋅ ( lxn) = sin csin bcos Aˆ = l ⋅ [ mx( lxn) ] = l ⋅[ l( m ⋅ n) − n( l ⋅ m) ] = (m ⋅ n) - (l ⋅ n)(l ⋅ m) = cosa - cosbcosc da cui si ricava l’equazione fondamentale dell’Astronomia sferica (I formula di Eulero): cos a = cos b cos c + sin b sin c cos Aˆ (1.14) Seguendo lo stesso procedimento si ottengono per rotazione le altre due relazioni: cos b = cos a cos c + sin a sin c cos Bˆ cos c = cos acos b + sin a sin b cos Cˆ (1.15) Le relazioni relative al teorema dei seni sono possibili ricavarle mediante il seguente prodotto vettoriale: ( l x m) x ( l x n) = ( l ⋅ m x n) l Per definizione di prodotto vettoriale a primo membro, si ha: ) ( sinbsincsinA) l = ( l ⋅ m x n) l ) sinbsincsinA = l ⋅m x n e per rotazione ciclica dei lati e degli angoli: ) sincsinasinB = m ⋅ n x l ) sinasinbsinC = n⋅ l x m Per la proprietà di prodotto vettoriale e scalare i secondi membri delle tre equazioni trovate sono uguali per cui è possibile scrivere la seguente uguaglianza:
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Page 23 and 24: A b + c B − C a sin sin = cos sin
Page 27 and 28: T ⎡X ⎤ ⎡i u ⎢ ⎥ ⎢ T ⎢
Page 35: ⎡N ⎤ ⎢ E ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ U

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