BASISBOEK WISKUNDE - Faculteit der Natuurwetenschappen ...

7 Faculteiten en binomiaalcoëfficiënten
De formules voor (a + b) 3 en (a + b) 4
Het merkwaardige product (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 vormt het uitgangspunt
voor de afleiding van formules voor (a + b) n voor grotere waarden van n
dan 2. We beginnen met het geval n = 3.
(a + b) 3 = (a + b)(a + b) 2
= (a + b)(a 2 + 2ab + b 2 ) (merkwaardig product)
= a(a 2 + 2ab + b 2 ) + b(a 2 + 2ab + b 2 )
= a 3 + 2a 2 b + ab 2
+ a 2 b + 2ab 2 + b 3
= a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Je ziet hoe we gebruik hebben gemaakt van het merkwaardig product voor
(a + b) 2 en vervolgens stap voor stap de haakjes hebben uitgewerkt. In de
vierde en vijfde regel hebben we gelijksoortige termen onder elkaar gezet,
waardoor we ze in de zesde regel gemakkelijk konden optellen. Het resultaat
is de formule
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Gewapend met deze formule kunnen we nu op dezelfde manier het geval
n = 4 aanpakken:
(a + b) 4 = (a + b)(a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ) (formule voor (a + b) 3 )
= a(a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ) + b(a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 )
= a 4 + 3a 3 b + 3a 2 b 2 + ab 3
+ a 3 b + 3a 2 b 2 + 3ab 3 + b 4
= a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
met als resultaat de formule
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie van
Jan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie van
dit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle opgaven
en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronisch
op de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. De
internetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedownload.
De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid worden
onder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,
organisaties of bedrijven.
53