BASISBOEK WISKUNDE - Faculteit der Natuurwetenschappen ...

20 Differentiëren
Stijgen, dalen en het teken van de afgeleide
Stel dat een functie f (x) op een interval I gegeven is.
De functie f (x) heet monotoon stijgend op I als voor alle getallen x 1
en x 2 uit I met x 1 < x 2 geldt dat f (x 1 ) < f (x 2 ).
De functie f (x) heet monotoon niet-dalend op I als voor alle getallen x 1
en x 2 uit I met x 1 < x 2 geldt dat f (x 1 ) ≤ f (x 2 ).
De functie f (x) heet monotoon dalend op I als voor alle getallen x 1 en x 2
uit I met x 1 < x 2 geldt dat f (x 1 ) > f (x 2 ).
De functie f (x) heet monotoon niet-stijgend op I als voor alle getallen x 1
en x 2 uit I met x 1 < x 2 geldt dat f (x 1 ) ≥ f (x 2 ).
monotoon stijgend monotoon niet-dalend monotoon dalend monotoon niet-stijgend
Het al of niet differentieerbaar zijn van f (x) speelt bij deze definities geen rol.
Voor differentieerbare functies geldt de volgende stelling:
Stelling: Stel dat f (x) differentieerbaar is in alle punten van het
interval I. Dan geldt:
a. als de functie f (x) monotoon niet-dalend is op het interval I, dan
is f ′ (x) ≥ 0 voor alle x in I,
b. als de functie f (x) monotoon niet-stijgend is op het interval I,
dan is f ′ (x) ≤ 0 voor alle x in I,
c. als f ′ (x) > 0 voor alle x in I, dan is f (x) monotoon stijgend,
d. als f ′ (x) ≥ 0 voor alle x in I, dan is f (x) monotoon niet-dalend,
e. als f ′ (x) < 0 voor alle x in I, dan is f (x) monotoon dalend,
f. als f ′ (x) ≤ 0 voor alle x in I, dan is f (x) monotoon niet-stijgend,
g. als f ′ (x) = 0 voor alle x in I, dan is f (x) constant.
Het bewijs van de onderdelen (a) en (b) is niet moeilijk, dat van de andere
onderdelen echter wel. We laten hier alle bewijzen achterwege.
Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie van
Jan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie van
dit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle opgaven
en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronisch
op de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. De
internetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedownload.
De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid worden
onder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,
organisaties of bedrijven.
185