BASISBOEK WISKUNDE - Faculteit der Natuurwetenschappen ...

12 Lijnen in het vlak
De vergelijking van een lijn in het vlak
De vergelijking
4x + 3y = 12
bevat twee onbekenden x en y. Een oplossing van deze vergelijking is dus
een paar (x, y) dat aan de vergelijking voldoet. Zo is bijvoorbeeld (1, 8 3 ) een
oplossing, want als je x = 1, y = 8 3
invult, is aan de vergelijking voldaan.
Maar er zijn nog meer oplossingen, bijvoorbeeld (3, 0), (0, 4) of (−1, 16 3 ).
In feite kun je één van de beide onbekenden x en y vrij kiezen, waarna de
ander uit de vergelijking kan worden opgelost. Wanneer je in het vlak een
rechthoekig coördinatenstelsel Oxy gekozen hebt, zijn de oplossingen van de
vergelijking de punten van een rechte lijn, in dit geval de lijn door (0, 4) en
(3, 0). De punten (x, y) van die lijn zijn precies de punten waarvan de coordinaten
voldoen aan de vergelijking 4x + 3y = 12.
De lijn met vergelijking 4x + 3y = 12
verdeelt het vlak in twee halfvlakken.
Voor de punten die in het ene halfvlak
liggen, geldt 4x + 3y > 12, voor die in
het andere halfvlak geldt 4x + 3y < 12.
Voor welk halfvlak welke ongelijkheid
geldt, bepaal je door een punt in te
vullen: de oorsprong O voldoet aan
4 × 0 + 3 × 0 < 12, dus het halfvlak
waar de oorsprong in zit, wordt gegeven
door 4x + 3y < 12.
In het algemeen stelt elke vergelijking van de vorm
ax + by = c
5
4
3
2
1
-1 O 1 2 3
-1
y
4x + 3y < 12
4x + 3y = 12
4x + 3y > 12
4 5
een rechte lijn voor. De enige voorwaarde is dat a en b niet allebei nul mogen
zijn. Zo’n vergelijking is niet uniek bepaald: vermenigvuldig je het linkeren
het rechterlid met hetzelfde getal (dat niet nul is), dan krijg je een andere
vergelijking voor dezelfde lijn. Zo stelt 8x + 6y = 24 dezelfde lijn voor als
4x + 3y = 12.
De snijpunten van een lijn met vergelijking ax + by = c met de y-as vind je
door x = 0 te stellen. Dat levert y =
b c , dus het snijpunt is (0, b c ). Het snijpunt
met de x-as vind je door y = 0 te stellen. Dat levert het snijpunt (
a c , 0). De lijn
is horizontaal als a = 0 en verticaal als b = 0.
Een lijn ligt vast als je twee punten ervan kent. In de volgende paragraaf geven
we je een eenvoudige methode om de vergelijking van een lijn te bepalen door
twee gegeven punten.
x
Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie van
Jan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie van
dit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle opgaven
en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronisch
op de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. De
internetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedownload.
De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid worden
onder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,
organisaties of bedrijven.
91