Disciplina: Matemática para o Ensino Básico IV - UFPB Virtual

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Solução: Vamos, inicialmente, conseguir os zeros necessários nos coeficientes de x. ⎧x + y − 3z + t = 1 ⎧x + y − 3z + t = 1 ⎪ ⎪ ⎨3x + 3y + z + 2t = 0 L2 → L2 + ( −3) L1 ⇒ ⎨0x + 0y + 10z − t = −3 ⎪2x y z 2t 4 ⎪ ⎩ + + − = ⎩2x + y + z − 2t = 4 L3 → L3 + ( −2) L1 ⇒ ⎧x + y − 3z + t = 1 ⎪ ⎨0x + 0y + 10z − t = −3 ⎪ ⎩0x − y + 7z − 4t = 2 ⎧x + y − 3z + t = 1 ⎪ Vamos agora permutar L2 ↔ L3 e assim teremos ⎨0x − y + 7z − 4t = 2 o qual é ⎪ ⎩0x + 0y + 10z − t = −3 um sistema escalonado. Como este sistema é do 2º tipo (número de equações menor que o de incógnitas), segue-se que é possível e indeterminado. Se fizermos t = α teremos 2 + 26α −1− 33α − 3 + α x = , y = , z = e t = α,onde α ∈ IR. 10 10 10 Exemplo 10: Vamos escalonar o sistema: ⎧x − y + z = 4 ⎪ S1 : ⎨3x + 2y + z = 0 ⎪ ⎩5x + 5y + z = −4 Solução: Temos ⎧x − y + z = 4 ⎧x − y + z = 4 ⎪ ⎪ ⎨3x + 2y + z = 0 L2 → L2 + ( −3) L1 ⇒ ⎨0x + 5y − 2z = −12 ⎪5x 5y z 4 ⎪ ⎩ + + = − ⎩5x + 5y + z = −4 L3 → L3 + ( −5) L1 ⇒ ⎧x − y + z = 4 ⎧x − y + z = 4 ⎪ ⎪ ⎨0x + 5y − 2z = − 12 ⎨0x + 5y − 2z = −12 . ⎪0x + 10y − 4z = − 24 L → L + − L ⇒⎪0 x + 0y + 0z = 0 ( 2) ⎩ 3 3 2 ⎩ de x, y e z. A última equação de S2 pode ser abandonada, pois ela é satisfeita para quaisquer valores Desta forma ⎧x − y + z = 4 S2 ⎨ ⎩0x + 5y − 2z = −12 e fazendo z = α teremos a solução: 8 − 3α − 12 + 2α x = , y = e z = α , onde 5 5 indeterminado. α ∈ IR e assim o sistema S1 é possível e 34
Observação: I) Se, ao escalonarmos um sistema, ocorrer uma equação do tipo esta deverá ser suprimida do sistema. 1 2 II) Se, ao escalonarmos um sistema, ocorrer uma equação do tipo (com b ≠ 0 ) o sistema será, evidentemente, impossível. 1 2 4- Avaliando o que foi Construído Nesta unidade você teve a oportunidade de conhecer e classificar sistemas lineares bem como discutir as propriedades utilizadas na resolução de um sistema linear. Através dos exercícios disponibilizados na plataforma Moodle, praticamos e amadurecemos no que diz respeito à resolução de problemas de sistemas lineares. 5- Bibliografia No Moodle... 1. DANTE, Luiz R. Matemática: Contexto e Aplicações. 2ª ed. São Paulo: Ática. Vol. 1. 2000. 2. IEZZI, G. Dolce, O. Hazzan, S. Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 1, Editora Atual, 8 ª ed. 2004. 3. PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática: conceito linguagem e aplicações. São Paulo: Moderna. Vol. 2. 2002. 4. FACCHINI, Walter. Matemática para Escola de Hoje. São Paulo: FTD, 2006. 5. LIMA, Elon L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E., A Matemática do Ensino Médio, Vol. 3, 2ª Edição, Coleção Professor de Matemática, Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática, 2006. 35 0x + 0x + L + 0x = 0 0x + 0x + + 0xn = b Na Plataforma Moodle você encontrará vários exercícios envolvendo este conteúdo. Acesse e participe! n L ,
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