Disciplina: Matemática para o Ensino Básico IV - UFPB Virtual

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Pelo sistema ( I ) encontramos −3 1 encontramos c = e d = . Portanto M 2 2 − 5 1 a e b 2 2 − = = e, através do sistema ( ) 1 ⎡ 5 −1 ⎤ 2 2 = ⎢ ⎥ . ⎢−3 1 ⎥ ⎣ 2 2 ⎦ Você já deve ter notado, pelo exemplo anterior, como iremos verificar se uma matriz quadrada M de ordem n admite uma matriz inversa 44 II , 1 M − de ordem n e, além disso, determinada resolvendo o sistema linear obtido através da equação matricial 3.6.2 – Resolução de um Sistema Linear n x n pela Regra de Cramer Considere o sistema linear 2x2 determinado cuja solução é x = 3 e y = − 2 . matriz ⎧3x + y = 7 S : ⎨ ⎩− 2x + 4y = −14 O sistema S pode ser representado na forma matricial ⎡ 3 1⎤ A = ⎢ −2 4 ⎥ ⎣ ⎦ é a matriz principal do sistema. Note que det A = 14 ≠ 0 . • Substituindo a 1ª coluna de A pela única coluna de B teremos a matriz Ax ⎡ 7 1⎤ = ⎢ −14 4 ⎥ ⎣ ⎦ e assim det A x = 42 . • Substituindo a 2ª coluna de A pela única coluna de B teremos a matriz e assim det A y = − 28. A regra de Cramer, a qual descrevemos logo após, estabelece que: M M = I . −1 . n 1 M − será que é um sistema possível e ⎡ 3 1⎤ ⎡ x⎤ ⎡ 7 ⎤ ⎢ . = −2 4 ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ −14 ⎥ , onde a ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ay ⎡ 3 7 ⎤ = ⎢ −2 −14 ⎥ ⎣ ⎦ det A det A x y 42 −28 x = e y = . Portanto x = = 3 e y = = − 2, que nada mais é do que a det A det A 14 14 solução do sistema S. Regra de Cramer Um sistema linear n x n , ⎧a11x1 + L+ a1n xn = b1 ⎪ S = ⎨M , onde ⎪ ⎩an1x1 + L+ annxn = bn ⎡a11 L a1n ⎤ A = ⎢ ⎥ ⎢ M M M ⎥ ⎢a L a ⎥ ⎣ n1 nm ⎦ denominada matriz principal do sistema S, é possível e determinado se, e somente se, det A ≠ 0 e a sua única solução é dada por det A det A det A x x x det A det A det A x1 x2 xn 1 = , 2 = , L n = onde Ax1, Ax 2 Axn é K são as matrizes obtidas substituindo-se, respectivamente, a coluna dos coeficientes de x1, x2, K xn pela coluna dos termos independentes.
A regra de Cramer decorre do fato de que podemos representar o sistema S na forma matricial A. X = B , onde A é a matriz principal (ou dos coeficientes), X matriz das incógnitas e B matriz dos termos independentes. Se det A ≠ 0 então a matriz A admite uma inversa ( ) ( ) 45 1 A − e assim: A X = B ⇒ A A X = A B ⇒ A A X = A B ⇒ I X = A B ⇒ X = A B . −1 −1 −1 −1 −1 −1 . . . . . . . n. . . Logo, concluímos que existe uma única matriz X que é solução de AX = B , e, portanto, o sistema S é possível e determinado. 4 – Avaliando o que foi Construído Nesta unidade, além de introduzirmos os conceitos de determinante, apresentamos o teorema de Laplace que permite calcular o determinante de matrizes quadradas de qualquer ordem. Conhecemos dez propriedades que permitirão o cálculo do determinante com maior praticidade. Observação: Com base na regra de Cramer podemos classificar um sistema linear n x n . I) Quando det A ≠ 0 , o sistema é possível e determinado. II) Quando det 0 det A = det A = L = det A = 0 , o sistema é possível e indeterminado ou impossível. II) Quando det 0 Desenvolvemos ainda uma discussão do uso dos determinantes nos sistemas lineares de ordem nxn, em especial nas matrizes 2x2 e 3x3, através da regra de Cramer, assim como o seu uso no cálculo da matriz inversa. Esperamos que o conhecimento adquirido e discutido nesta unidade possa auxiliar você na resolução de problemas que envolvam determinantes, bem como sistemas de equações lineares. Na plataforma Moodle você encontrará exercícios complementares para um maior aprofundamento nos conteúdos das unidades I, II e III. Acesse e participe. 5- Bibliografia A = e 1 2 x x xn A = e pelo menos um dos determinantes, det A 1, ,det A diferente de zero, o sistema é impossível. x xn 1. DANTE, Luiz R. Matemática: Contexto e Aplicações. 2ª ed. São Paulo: Ática. Vol. 1. 2000. 2. IEZZI, G. Dolce, O. Hazzan, S. Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 1, Editora Atual, 8 ª ed. 2004. 3. FACCHINI, Walter. Matemática para Escola de Hoje. São Paulo: FTD, 2006. K , for 4. LIMA, Elon L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. A Matemática do Ensino Médio, Vol. 3, 2ª Edição, Coleção Professor de Matemática, Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática, 2006. 5. PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática: conceito linguagem e aplicações. São Paulo: Moderna. Vol. 2. 2002.
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