Disciplina: Matemática para o Ensino Básico IV - UFPB Virtual

Exercício 1: Mostre que a matriz inversa da matriz
⎡1 − 2 1 ⎤
⎢ 3 3 ⎥
B = ⎢0 1 −2
⎥ .
⎢ 3 3⎥
⎢0 0 1 ⎥
⎣ ⎦
43
⎡1 2 1⎤
A =
⎢
0 3 2
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ 0 0 1⎥⎦
é a matriz
Exercício 2: Calcule os determinantes das matrizes A e B do exercício anterior. Qual a relação
que existe entre det A e det B?
Vamos estabelecer uma maneira que nos permita o cálculo de matriz inversa utilizando o
nosso conhecimento de sistemas lineares. Para isso necessitamos do seguinte teorema.
Teorema: Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se, e somente se, det A ≠ 0 .
Demonstração:
Sendo A de ordem n, então A é invertível ⇔ existe
−1 −1 A . A = A. A = I ⇔ det
−1 A . A = det I ⇔ det
−1
A .det A = det I , veja propriedade 9 (P9).
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n
Como det n 1
det A .det A = 1 ⇔ det A = ⇔ det A ≠ 0 .
det A
Portanto a matriz quadrada A de ordem n é invertível se, e somente se, det A ≠ 0 .
− −
I = , teremos que: ( ) ( )
1 1 1
1
A − tal que
⎡1 1⎤
1
Exemplo: Verifique se a matriz M = ⎢
3 5
⎥ é invertível. Em caso afirmativo determine M
⎣ ⎦ − .
Como det M = 5 − 3 = 2 ≠ 0 , então, pelo teorema anterior, M admite uma matriz inversa
−1 ⎡a b⎤
− 1 1 1
M = ⎢
c d
⎥ e mais det M = = .
⎣ ⎦ det M 2
Assim, temos:
−1
A . A I2
= , ou seja,
⎡a ⎢
⎣c b⎤ ⎡1 .
d
⎥ ⎢
⎦ ⎣3 1⎤ ⎡1 5
⎥ = ⎢
⎦ ⎣0 0⎤ 1
⎥
⎦
⎡a + 3b ⇒ ⎢
⎣c + 3d a + 5b⎤ ⎡1 =
c + 5d ⎥ ⎢
⎦ ⎣0 0⎤ 1
⎥
⎦
⎧a
+ 3b = 1
⎪
⎪a
+ 5b = 0
⇒ ⎨
⎪c + 3d = 0
⎪
⎩c
+ 5d = 1
I
⎧a
+ 3b = 1
⎨
⎩a
+ 5b = 0
⎧c
+ 3d = 0
⎨ , separadamente.
⎩c
+ 5d = 1
o qual é um sistema linear onde podemos, neste caso, resolver os sistemas ( )
( II )
Observação: Note que, durante o processo de demonstração do teorema, obtivemos que
det A
1
det A
− 1
= . Desta forma, podemos concluir que matrizes inversas têm determinantes
inversos. Volte ao exercício 2 e verifique tal afirmação.
e